Übungsaufgabe 1: Exponentielles Wachstum

1.0 Niger ist ein Staat in Westafrika. Zu Beginn des Jahres 2010 lebten dort etwas 15,5 Millionen Menschen. Unter der Annahme einer gleichbleibenden jährlichen Wahstumsrate lässt sich die Einwohnerzahl y Millionen nach x Jahren näherunsweise durch die Funktion f mit der Gleichung \( y = 15,5 \cdot 1,035^x \) mit \( \mathbb{R}^{0+} \text{ x } \mathbb{R}^{0+} \).

1.1         Ergänzen Sie die Wertetabelle auf eine Stelle nach dem Komma gerundet. Zeichnen Sie sodann den Graphen f in das Koordinatensystem.

x051015202530
y       
x051015202530
y15,518,421,926,030,836,643,5

1.2         Um wie viel Prozent wächst nach dieser Annahme ab dem Jahresbeginn 2010 die Einwohnerzahl in Niger jährlich?
              Sie wächst um ________ % .

1,035 sind 0,035 mehr als 1.
Das sind \( 0,035 \cdot 100 \% = 3,5\% \)

1.3         Berechnen Sie auf Millionen gerundet, wie viele Einwohner Niger bei gleichbleibender jährlicher Zuwachsrate zu Beginn des Jahres 2064 haben würde.

Bis zum Jahr 2064 vergehen \( 2064 – 2010 = 54 \) Jahre.
\( f(54) = 15,5 \cdot 1,035^{54} = 99,3 \).

Es leben 99,3 Millionen Menschen dort.

1.4         Bestimmen Sie rechnerisch, nach wie vielen Jahren die Einwohnerzahl von Niger 25 Millionen betragen würde.

\begin{align} f(x) &= 25 \\
15,5 \cdot 1,035^{54} &= 25 \,\,\, |:15,5 \\
1,035^x &= 1,61 \,\,\, | log_{1,035}() \\
x &= 13,8 \text{Jahre} \end{align}

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