Berechnungen an Kreisen

Grundwissen: Umfang und Flächeninhalt

Der Umfang U beschreibt die Länge der Begrenzungslinie eines Kreises. Zur Berechnung brauchst du nur den Radius r.

\(U = 2 \cdot \pi \cdot r \)

Der Flächeninhalt A des Kreises beschreibt die Größe der Kreisfläche. Zur Berechnung benötigst du nur den Radius r.

\( A = \pi \cdot r^2 \)

Merkhilfe: In beiden Formeln taucht Pi, der Radius r und eine 2 auf. Weil der Flächeninhalt in cm hoch 2 angeben wird, muss in der Flächenformel hoch 2 stehen.

Stoff der 10. Klasse

Bogenlänge, Kreissektor und Kreissegment

Der Kreisbogen ist ein Teil des Umfangs. Der Anteil am Umfang kann durch den Winkel zwischen den beiden Radien angegeben werden. Zur Berechnung benötigst du den Radius und den Winkel zwischen den Radien:

\begin{align} b &= Anteil \cdot Umfang \\ &= \frac{\alpha}{360°} \cdot 2 \cdot \pi \cdot r \\ \Rightarrow b &= \frac{\alpha}{180°} \cdot \pi \cdot r \end{align}

Der Kreissektor ist ein Teil der Kreisfläche. Der Anteil kann durch den Winkel zwischen den beiden Radien beschrieben werden.

\begin{align} A_{Sektor} &= Anteil \cdot Fläche \\ &= \frac{\alpha}{360°} \cdot \pi \cdot r^2 \end{align}

Das Kreissegment bleibt übrig, wenn man von einem Kreissektor das entstehende Dreieck \( \triangle\) ABM abzieht. Zur Berechnung des Dreiecks verwendet man die “Sinus-Formel”. Die beiden Seitenlängen sind jeweils r.

\begin{align} A_{Kreissegment} &= Kreissektor – Dreieck \\ &= \frac{\alpha}{360°} \cdot \pi \cdot r^2 – 0,5 \cdot sin(\alpha) \cdot r^2 \end{align}

Und? Ist es dir aufgefallen, dass in diesem Abschnitt die Farben verkehrt sind? Beim MAP-Hack ist blau bekannt und gelb gesucht. Auf dieser Seite ist es andersherum. Einfach in eine Formel einsetzen und den Taschenrechner bedienen ist leider zu einfach für die M-AP. Häufig ist die Bogenlänge, der Kreissektor oder das Kreissegment gegeben und du sollst den Radius oder den Winkel ausrechnen.

Übungsaufgaben

Wir üben, wie sollte es anders sein, direkt an Abschlussprüfungsaufgaben. Du findest sie in der Restesammlung des MAP-Hacks: Ebene Geometrie oder du folgst einfach dem Button!

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