2022 Nachtermin A1: Rotationskörper

Der gesuchte Körper setzt sich aus einem Zylinder (CDHI), einer Halkugel (GE) und einem Kegelstumpf (ABCI) zusammen.
Den Kegelstumpf berechnest du, indem du vom großen Kegel (ABF) den kleinen Kegel (ICF) abziehst.

\begin{align} &\text{Berechnung benötigter Teilstrecken:}\\
\\
|\overline{IK}| &= |\overline{ME}| + |\overline{ED}| = 2 + 0,5 = 2,5 cm \\
|\overline{AN}| &= 0,5 \cdot |\overline{AB}| = 0,5 \cdot 8 = 4 cm \\
\\
&|\overline{FN}| \text{ über den Vierstreckensatz:}\\
\frac{|\overline{FN}|}{|\overline{FK}|} &= \frac{|\overline{AN}|}{|\overline{IK}|}\\
\frac{|\overline{FN}|}{1,7} &= \frac{4}{2,5} \,\,\, |\cdot 1,7 \\
|\overline{FN}|&= \frac{4}{2,5} \cdot 1,7 \\
\Rightarrow &|\overline{FN}| = 2,72 cm \\
\\
&\text{Berechnung der Teilvolumina:}\\
V_{Zylinder} &= \pi \cdot |\overline{IK}|^2 \cdot |\overline{IH}| \\
&= \pi \cdot 2,5^2 \cdot 3 \\
\Rightarrow &V_{Zylinder} = 58,90 cm^3 \\
\\
V_{Halbkugel} &= \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot |\overline{ME}|^3 \\
&= \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot 2^3 \\
\Rightarrow &V_{Halbkugel} = 16,76 cm^3 \\
\\
V_{Gr. Kegel} &= \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot |\overline{AN}|^2 \cdot |\overline{FN}| \\
&= \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 4^2 \cdot 2,72 \\
\Rightarrow &V_{Gr. Kegel} = 45,57 cm^3 \\
\\
V_{kl. Kegel} &= \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot |\overline{IK}|^2 \cdot |\overline{FK}| \\
&= \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 2,5^2 \cdot 1,7 \\
\Rightarrow &V_{kl. Kegel} = 11,13 cm^3 \\
\\
&\text{Zusammensetzen zum Gesamtvolumen:}\\
V &= V_{Zylinder} – V_{Halbkugel} + V_{gr. Kegel} – V_{kl. Kegel} \\
&= 58,90 – 16,76 + 45,57 – 11,13 \\
\Rightarrow V = 76,58 cm^3 \end{align}