2021 Nachtermin B2: Raumgeometrie

\begin{align} &\overline{AS} \text{ mit dem Satz des Pythagoras:}\\
\overline{AS}^2 &= \overline{AM}^2 + \overline{MS}^2 \\
&= 9^2 + 8^2 \,\,\,|\sqrt{} \\
\Rightarrow &\overline{AS} = 12,04 \text{cm}\\
\\
&\angle SCA \text{ mit dem Tangens:}\\
tan(\angle SCA) &= \frac{\overline{MS}}{\overline{AC} – \overline{AM}} \\
&= \frac{8}{13-9} \,\,\, |tan^{-1}\\
\Rightarrow &\angle SCA = 63,43° \end{align}

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Einzeichnen des Punktes N und der Strecke [AF]. – Siehe B2.1
\begin{align} &\angle CAF \text{ mit dem Tangens:}\\
tan(\angle CAF) &= \frac{\overline{MN}}{\overline{AM}} \\
&= \frac{2,5}{9} \\
\Rightarrow &\angle CAF = 15,52° \end{align}

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Einzeichnen der Strecke [EG] und das Drachenviereck AEFG. – Siehe B2.1


Den Flächeninhalt eines Drachenvierecks berechnest du am besten über die Flächenformel (\( A = e \cdot f \)), wobei die Diagonalen hier \( \overline{AF} \) und \( \overline{EG} \) heißen. Diese musst du zuerst berechnen, um einsetzen zu können.

\begin{align} &\overline{AF} \text{ mit dem Sinussatz:}\\
\frac{\overline{AF}}{sin(\angle SCA)} &= \frac{\overline{AC}}{sin(\angle AFC)}\\
\text{mit } \angle AFC &= 180° – \angle SCA – \angle CAF \\
&= 180° – 63,43° – 15,52° \\
\frac{\overline{AF}}{sin(63,43°)} &= \frac{13}{sin(101,05°)} \,\,\, |\cdot sin(63,43°) \\
\Rightarrow &\overline{AF} = \frac{13}{sin(101,05°)} \cdot sin(63,43°) \\
&= 11,85 \text{cm} \\
\\
&\overline{EG} \text{ mit dem Vierstreckensatz:}\\
\frac{\overline{EG}}{\overline{BD}} &= \frac{\overline{MS}- \overline{MN}}{\overline{MS}}\\
\frac{\overline{EG}}{12} &= \frac{8 – 2,5}{8} \,\,\, |\cdot 12 \\
\Rightarrow &\overline{EG} = \frac{5,5}{8} \cdot 12 = 8,25 \text{cm} \\
\\
&\text{ Einsetzen in die Flächenformel}\\
A_{AEFG} &= 0,5 \cdot \overline{AF} \cdot \overline{EG} \\
&= 0,5 \cdot 11,85 \cdot 8,25 \\
\Rightarrow &A_{AEFG} = 48,88 \text{cm}^2 \end{align}

Leider habe ich im Video den Taschenrechner falsch abgeschrieben. Der Rechenweg passt, das Ergebni sist aber 48,88 nicht ,44. Bitte nicht wundern.

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\begin{align} &\angle CAS \text{ mit dem Tangens:}\\
tan(\angle CAS) &= \frac{\overline{MS}}{\overline{AM}} \\
&= \frac{8}{9} \,\,\, |tan^{-1}\\
\Rightarrow &\angle CAS = 41,63° \\
\\
&\angle Q_n A P_n \text{ über Subtraktion:}\\
\angle Q_n A P_n &= \angle CAS – \angle CAF \\
&= 41,63° – 15,52° \\
\Rightarrow &\angle Q_n A P_n = 26,11° \\
\\
&\overline{P_n Q_n} \text{ mit dem Sinus:}\\
sin(\angle Q_n A P_n) &= \frac{\overline{P_n Q_n}}{x} \\
sin(26,11°) &= \frac{\overline{P_n Q_n}}{x}\,\,\, |\cdot x \\
\Rightarrow &\overline{P_n Q_n} = 0,44 \cdot x \text{ cm}\end{align}

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Zuerst stellst du die funktionale Volumenformel \( V(x) \) auf und setzt diese dann mit 14 gleich.
Die erhaltene Gleichung löst du nach x auf.
\begin{align} &V(x) \text{ mit der Pyramidenformel:}\\
V(x) &= \frac{1}{3} \cdot A_{AEFG} \cdot \overline{P_n Q_n} \\
&= \frac{1}{3} \cdot 48,88 \cdot 0,44 \cdot x \\
\Rightarrow &V(x) = 7,17 \cdot x \text{cm}^3\\
\\
&\text{ Gleichsetzen mit } 14: \\
7,17 \cdot x &= 14 \,\,\, |:7,17 \\
\Rightarrow &x = 1,95 \end{align}

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Das Vorgehen kommt “Arbeiten mit quadratischen Gleichungen” aus den quadratischen Funktionen am nächsten.

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