2021 Nachtermin B1: Ebene Geometrie

Der Umfang \( u \) ist die Summe aller begrenzenden Seiten. Hier kennst du alle, außer \( \overline{DA} \).

\begin{align}&\overline{DA} \text{ mit dem Satz des Pythagoras:}\\
\overline{DA}^2 &= \overline{BD}^2 + \overline{AB}^2 \\
&= 9^2 + 6^2 \,\,\, |\sqrt{}\\
\Rightarrow &\overline{DA} = 10,82 \text{cm}\\
\\
&\text{Berechnung des Umfangs durch Addition:}\\
u &= \overline{AB}+ \overline{BC}+ \overline{CD}+\overline{DA}\\
&= 6+ 9 +7 +10,82 \\
\Rightarrow &u = 32,82 \text{cm} \end{align}

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\begin{align} &\angle BDC \text{ mit dem umgeformten Cosinussatz:}\\
cos(\angle BDC) &= \frac{\overline{BD}^2 + \overline{CD}^2 – \overline{BC}^2}{2 \cdot \overline{BD} \cdot \overline{CD}}\\
&= \frac{9^2 + 7^2 – 9^2}{2 \cdot 9 \cdot 7} \,\,\, |cos^{-1}\\
\Rightarrow &\angle BDC = 67,11° \end{align}

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Einzeichnen der Strecke [CE] – Siehe B1.1


\begin{align} &\overline{CE} \text{ mit dem Sinus:}\\
sin(\angle BDC) &= \frac{\overline{CE}}{\overline{CD}}\\
sin(67,11°) &= \frac{\overline{CE}}{7} \,\,\, |\cdot 7 \\
\Rightarrow &\overline{CE} = sin(67,11°) \cdot 7 = 6,45 \text{cm}\\
\\
&\overline{DE} \text{ mit dem Satz des Pythagoras:}\\
\overline{CD}^2 &= \overline{DE}^2 + \overline{CE}^2 \,\,\, \text{umstellen nach Kathete} \\
\Rightarrow \overline{DE}^2 &= \overline{CD}^2 – \overline{CE}^2 \\
&= 7^2 – 6,45^2 \,\,\, |\sqrt{}\\
\Rightarrow &\overline{DE} = 2,72 \text{cm} \end{align}

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Einzeichnen der Strecke [EN] – Siehe B1.1


Der Ansatz um die Aufgabe zu lösen ist, mit dem Sinus die Länge der Strecke [EN] zu bestimmen. Das funktioniert, weil die kürzeste Strecke die Eigenschaften des Abstandes hat, also im rechten Winkel steht.
Keine Ahnung was hier gemeint ist? Lies es hier Grundwissen nach: https://map-hack.de/grundwissen/eigenschaften-des-abstandes
Um mit dem Sinus rechnen zu können, benötigst du den Winkel \( \angle CBD \).
Um an diesen Winkel zu kommen, benötigt es einen Trick. Das Dreieck ist gleichschenklig (\( \overline{BD} = \overline{BC} \)), also müssen auch die beiden Winkel an den Schenkeln gleich sein – beide jeweils 67,11°.
Den Winkel an der Spitze kannst du dann über die Innenwinkelsumme im Dreieck bestimmen. Genug geredet, jetzt wird gerechnet!

\begin{align} &\angle CBD \text{ über die Innenwinkelsumme im Dreieck:}\\
\overline{BD} &= \overline{BC}\, \Rightarrow \, \text{ Zwei Winkel} = 67,11° \\
\Rightarrow &\angle CBD = 180° – 2 \cdot 67,11° = 45,78° \\
\\
\overline{BE} &= \overline{BD} – \overline{DE} \\
&= 9 – 2,72 \\
\Rightarrow &\overline{BE} = 6,28 \text{cm}\\
\\
&\overline{EN} \text{ mit dem Sinus:}\\
sin(\angle CBD) &= \frac{\overline{EN}}{\overline{BE}} \\
sin(45,78°) &= \frac{\overline{EN}}{6,28}\,\,\, |\cdot 6,28 \\
\Rightarrow &\overline{EN} = sin(45,78°) \cdot 6,28 = 4,50 \text{cm}\end{align}

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Einzeichnen des Kreisbogens EF – Siehe B1.1

Für gesuchte Fläche \( A_{BCFE} \) musst du von der Dreiecksfläche \( A_{BCD} \) die Kreissektorfläche \( A_{Sektor} \) abziehen.


\begin{align} &A_{BCD} \text{ mit der Flächenformel:}\\
A_{BCD} &= \frac{1}{2} \cdot \overline{BD} \cdot \overline{CD}\cdot sin(\angle BDC) \\
&= \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 7 \cdot sin(67,11°) \\
\Rightarrow &A_{BCD}= 29,02 \text{cm}^2 \\
\\
&A_{Sektor} \text{ mit der Flächenformel:}\\
A_{Sektor} &= \frac{\angle BDC}{360°} \cdot \overline{DE} \cdot \pi \\
&= \frac{67,11°}{360°} \cdot 2,72^2 \cdot \pi \\
\Rightarrow &A_{Sektor} = 4,33 \text{cm}^2\\
\\
A_{BCFE} &= A_{BCD} – A_{Sektor} \\
&= 29,02 – 4,33 \\
\Rightarrow &A_{BCFE} = 24,69 \text{cm}^2 \end{align}

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