2021 Nachtermin A3: Rotationskörper

Der Punkt N liegt auf dem Thaleskreis über [AD], also gilt \( \angle AND = 90° \)
\begin{align} r \text{ mit dem Tangens:}\\
tan(0,5 \cdot \angle AND) &= \frac{0,5 \cdot \overline{BC}}{r + \overline{LM}}\\
tan(45°) &= \frac{5}{r+3} \,\,\, |\cdot (r+3) :tan(45°) \\
r + 3 &= \frac{5}{tan(45°)} \,\,\, | – 3 \\
\Rightarrow &r = 2 \text{cm}\end{align}

Das gesuchte Volumen \( V\) setzt sich aus dem Kegelstumpf und der Halbkugel zusammen. Für das Volumen des Kegelstumpfes benötigst du das Volumen des großen Kegels \( V_K \) und des kleinen Kegels \( V_k \).
Berechne die drei Teilvolumina oder setzte alles in eine große Formel ein.

\begin{align} &V_K \text{ mit der Kegel-Formel:}\\
V_K &= \frac{1}{3} \cdot \overline{BL}^2 \cdot \pi \cdot \overline{LN} \\
&= \frac{1}{3} \cdot 5^2 \cdot \pi \cdot 5 \\
\Rightarrow &V_K = 130,90 \text{cm}^3 \\
\\
&V_k \text{ mit der Kegel-Formel:} \\
V_k &= \frac{1}{3} \cdot \overline{AM}^2 \cdot \pi \overline{MN} \\
&= \frac{1}{3} \cdot 2^2 \cdot \pi \cdot 2\\
\Rightarrow &V_k = 8,38 \text{cm}^3 \\
\\
&V_{HK} \text{ mit der Kugel-Formel:}\\
V_{HK} &= \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \overline{AM}^3 \cdot \pi \\
&= \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot 2^3 \cdot \pi \\
\Rightarrow &V_{HK} = 16,75 \text{cm}^3 \\
\\
\Rightarrow &V = V_{HK} + V_K – V_k = 139,27 \text{cm}^3 \end{align}