2019 Nachtermin B1: Quadratische Funktionen

Die Berechnung der Parabelgleichung in dieser Aufgabe ist einzigartig. Nur hier brauchst du dieses Vorgehen. Manche Dinge bleiben aber gleich: Es ist der Scheitelpunkt gegeben, also verwendest du die Scheitelform \( y = a \cdot (x – x_s)^2 + y_s \). Dort setzt du für \(x_s\) und \(y_s\) die Koordinaten des Scheitelpunkts ein. Wenn du jetzt für x und y die Koordinaten von P einsetzt, so erhälst du eine Gleichung, in der du nur a nicht kennst. Du kannst sie also nach a auflösen und diesen Wert bestimmen (a = -0,25). Diesen setzt du jetzt statt P in die Scheitelform ein, löst die Klammer mit einer binomischen Formel auf und vereinfachst soweit wie möglich.

\begin{align} &Einsetzen \, von \, S \, und \, P: \\
Scheitelform: \, y &= a \cdot (x – x_S)^2 + y_s \\
S(4|2)\, \in p \\
y &= a \cdot (x – 4)^2 + 2 \\
P(-2|-7) \in p: \\
-7 &= a \cdot (-2 -4)^2 + 2 \\
-7 &= a \cdot (-6)^2 + 2 \,\,\ |-2 \\
-9 &= 36a \,\,\ |:36 \\
\Rightarrow a &= -0,25 \\
&Einsetzen \, in die Scheitelform: \\
y = -0,25 \cdot (x – 4)^2 + 2 \\
&= -0,25 \cdot (x^2 – 8x + 16) + 2 \\
&= -0,25x^2 + 2x – 4 + 2 \\
\Rightarrow &y = -0,25x^2 + 2x – 2 \end{align}

Um in die Flächenformel des Trapezes (\( A_{Trapez} = 0,5 \cdot (a + c) \cdot h \) ) einsezten zu können, benötigst du die Länge der Strecke \( a = \overline{A_n B_n} \). Weil A und B die selbe Abszisse haben, kannst du diese Länge durch “Oben – Unten” berechnen.

\begin{align} &\overline{A_n B_n} \text{ durch “oben – unten”:} \\
\overline{A_n B_n} &= y_{Gerade} – y_{Parabel} \\
&= -0,5x + 5 – (-0,25x^2 + 2x -2) \\
&= -0,5x + 5 + 0,25x^2 – 2x + 2 \\
\Rightarrow &\overline{A_n B_n} = 0,25x^2 -2,5x + 7 \\
\\
& \text{Einsetzen, in die Flächenformel:} \\
A &= 0,5 \cdot (\overline{A_n B_n} + \overline{C_n D_n}) \cdot h \\
&= 0,5 \cdot (0,25x^2 -2,5x + 7 +6) \cdot 4 \\
&= 2 \cdot ( 0,25x^2 -2,5x + 13) \\
\Rightarrow &A(x) = (0,5x^2 -5x +26) FE \end{align}

Berechne den Extremwert des Terms \( A(x) = 0,5x^2 -5x + 26 \) mit deinem Taschenrechner.

\( \Rightarrow A_{min} = 13,5 FE \, für \, x \, = \, 5 \)

Zuerst berechnest du den Wert für x, für den das Trapez einen FE von 25 hat. Das machst du mit einer Gleichung:

\begin{align} &\text{Wert für x mit einer Gleichung:} \\
A(x) &= 25 \\
0,5x^2 -5x +26 &= 25 \, \, \, |-25 \\
0,5x^2 – 5x + 1 &= 0 \\
\Rightarrow &GTR: \, x = 0,20 \, \lor \, x = 9,80 \end{align}

Wenn die Trapeze gleichzeitig Rechtecke sind, dann ist die Höhe des Trapezes genauso lang, wie seine Seitelänge. Es ergibt sich also eine Grundseite von 6 LE und eine Höhe von 4 LE. Damit würde sich auch ein Flächeninhalt von \( 4 \cdot 6 = 24 FE \) ergeben. Das trifft hier aber nicht zu. Also sind die Trapeze auch keine Rechtecke.