2019 Haupttermin Teil B2: Raumgeometrie

\begin{align} & \overline{MS} \, mit \, dem \, Satz \, des \, Pythagoras: \\ \overline{MS}^2 &= \overline{AS} ^2 + \overline{AM}^2 \\ &= 10^2 + 3^2 \\ \Rightarrow & \overline{MS} = 10,44 cm \\ \\ & \varphi \, mit \, dem \, Tangens: \\ tan(\varphi) &= \frac{\overline{AS}}{\overline{AM}} \\ &= \frac{10}{3} \\ \Rightarrow &\varphi = 73,30° \end{align}

Phi kannst du auch mit dem Sinus oder dem Cosinus berechnen.

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\begin{align} &\overline{A_1 P_1} \, mit \, dem \, Cosinussatz: \\ \overline{A_1 P_1}^2 &= \overline{A_1 M}^2 + \overline{MP_1}^2 – 2 \cdot \overline{A_1 M} \cdot \overline{MP_1} \cdot cos(\varphi) \\ &= 7,5^2 + 7,44^2 – 2 \cdot 7,5 \cdot 7,44 \cdot cos(73,3°) \\ \Rightarrow &\overline{A_1 P_1} = 8,92 cm \\ \\ &\alpha \, mit \, dem \, Sinussatz: \\ \frac{sin(\alpha)}{\overline{MP_1}} &= \frac{sin(\varphi)}{\overline{A_1 P_1}} \,\,\, |\cdot \overline{MP_1} \\ &= \frac{sin(\varphi)}{\overline{A_1 P_1}} \cdot \overline{M_1 P_1} \\ &= \frac{sin(73,30°)}{8,92} \cdot 7,44 \\ \Rightarrow &\alpha = 53,03° \end{align}

Um das funktionale Volumen zu bestimmen, benötigst du die Höhe [PF] in Abhänigkeit von x:

\begin{align} &\overline{P_n F_n} \, mit \, dem \, Vierstreckensatz: \\ \frac{\overline{P_n F_n}}{\overline{AS}} &= \frac{\overline{MP_n}}{\overline{MS}} \, \, \, |\cdot \overline{AS} \\ \overline{P_n F_n} &= \frac{\overline{MP_n}}{\overline{MS}} \cdot \overline{AS} \\ &= \frac{10,44 -x } {10,44} \cdot 10 \\ \Rightarrow &\overline{P_n F_n} = (10 – 0,96x) cm \\ \\ & Einsetzen \, in \, die \, Volumenformel:  \\ V_{Pyramide} &= \frac{1}{3} \cdot A_g \cdot h \\ &= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot \overline{A_n C} \cdot \overline{BD} \cdot \overline{P_n F_n} \\ &= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot (9+1,5x) \cdot 8 \cdot (10 – 0,96x) \\ &= \frac{1}{6} \cdot (9 + 1,5x) \cdot (80 – 7,68x) \\ &= \frac{1}{6} \cdot (720 – 69,12 x + 120x – 11,52x^2) \\ &= \frac{1}{6} \cdot (-11,52x^2 + 50,88x + 720) \\ \Rightarrow &V_{Pyramide} = (-1,92x^2 + 8,48x + 120) cm^3  \end{align}

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\begin{align} &T_{max}\, mit \, dem \, GTR: \\ -1,92x^2 + 8,48 x + 120 & \Rightarrow V_{max} = 129,39 cm^3 \\ \\ &V_{gesamt} \, mit \, der \, Volumenformel: \\ V_{gesamt} &= \frac{1}{3} \cdot A_G \cdot h \\&= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot \overline{AC} \cdot \overline{BD} \cdot \overline{AS} \\ &= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 8 \cdot 10 \\ \Rightarrow &V_{gesamt} = 120 cm^3 \\ \\ &p \, mit \, der \, Prozentformel: \\ p &= \frac{V_{max}}{V_{gesamt}} \cdot 100 \% \\ &= \frac{129,38}{120} \cdot 100 \% \\ \Rightarrow &p = 107,82 \% \end{align}

Das größte Volumen ist um 7,82 % größer.

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Du kannst die Aufgabe durch Ausschluss lösen. Der Graph A ist das maximale Volumen bei 120, das darf aber nicht sein. Bei Graph C ist das Volumen für x = 0 nicht 120, sondern ungefähr 110. Auch das darf nicht sein. Es bleibt nur der Graph von B übrig.

4 Kommentare zu „2019 Haupttermin Teil B2: Raumgeometrie“

  1. Sandra Lermer

    Lieber Herr Cobanov,

    ich finde Ihre Seite wirklich sensationell gut und verwende sie mit meiner Klasse im Unterricht für die Prüfungsvorbereitung.

    Wir haben bei HT 2019 B2 einen Fehler in der Lösung gefunden. Hier ist die falsche Abbildung eingefügt.

    Gerne würde ich Ihnen alle Fehler, die wir finden schreiben, damit die Seite noch besser wird (falls das überhaupt möglich ist).

    Wie kann ich Ihnen Rückmeldung geben?

    Liebe Grüße
    Sandra Lermer

    1. Liebe Frau Lermer,

      vielen Dank für die netten Worte! Ich freue mich, dass die Seite hilft!
      Feedback hilft mir super weiter und ich freue mich über jede Kleinigkeit, auf die Aufmerksam gemacht wird. Das Bild wird heute mittag ausgetauscht.

      Auf der rechten Seite ist der blaue Feedbackbutton für kleinere Fehler, z.B. Tippfehler. Der Feedbackbutton funktioniert auch anonyl ohne Angabe einer Email.
      Für größere “Schnitzer” bitte eine E-Mail an tobias.cobanov@maria-ward-sob.de

      Ich wünsche viel Erfolg bei der Prüfungsvorbereitung und liebe Grüße an Ihre Klasse!
      Tb.Cb

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