2019 Haupttermin Teil B1: Ebene Geometrie

\begin{align}& \beta \, mit \, dem \, umgeformten \, Cosinussatz: \\ \overline{AC}^2 &= \overline{AB}^2 + \overline{BC}^2 – 2 \cdot \overline{AB} \cdot \overline{BC} \cdot cos(\beta) \\ cos(\beta) &= \frac{\overline{AB}^2 + \overline{BC}^2 – \overline{AC}^2}{2 \cdot \overline{AB} \cdot \overline{BC}} \\&= \frac{7^2 + 10^2 – 14^2}{2 \cdot 7 \cdot 10} \\ \Rightarrow &\beta = 109,62 \\ \\ & \varepsilon \, mit \, dem \, Sinussatz: \\ \frac{sin(\varepsilon)}{\overline{BC}} &= \frac{sin(\beta)}{\overline{AC}} \,\,\, |\cdot \overline{BC} \\ sin(\varepsilon) &= \frac{\overline{BC}}{\overline{AC}} \cdot sin(\beta) \\ &= \frac{10}{14} \cdot sin(109,62°) \\ \Rightarrow &\varepsilon = 42,28° \end{align}

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\begin{align} &\overline{BP} \, mit \, dem \, Sinus: \\ sin(\varepsilon) &= \frac{\overline{BP}}{\overline{AB}} \, \, \ |\cdot \overline{AB} \\ \overline{BP} &= \overline{AB} \cdot sin(\varepsilon) \\ &= 7 \cdot sin(42,28°) \\ \overline{BP} &= 4,71 cm \\ \\ &\overline{AP} \, mit \, dem \, Cosinus: \\ cos(\varepsilon) &= \frac{\overline{AP}}{\overline{AB}} \,\,\, |\cdot \overline{AB} \\ \overline{AP} &= cos(\varepsilon) \cdot \overline{AB} \\ &= cos(42,28°) \cdot 7 \\ \Rightarrow &\overline{AP} = 5,18 cm \\ \\ &Berechnung \, des \, Umfangs: \\ u &= \overline{AB} + \overline{BP} + \overline{AP} \\ &= 7 + 4,71 + 5,18 \\ \Rightarrow &u = 16,89 cm \end{align}

Um in die Flächenformel des Tapezes (\( A = 0,5 \cdot (a + c) \cdot h) \)) einsetzen zu können, benötigst du eine Höhe h und die Länge der Strecken [CD]. Die Länge von [AB] ist gegeben.

Achtung Falle: [DA] ist KEINE Höhe, da kein rechter Winkel zu [AB] vorliegt!

Um die Höhe zu berechnen, wirfst du ein Lot mit Lotfußpunkt D’ auf [DC] durch B. Diese Strecke sieht wie eine Parallele zu [AD] durch B ist… aber sie sieht nur so aus und ist nicht wirklich parallel.
Im Dreieck D’BC kannst du die Höhe bestimmen:

\begin{align} &\overline{D’B} \, mit \, dem \, Cosinus: \\
cos(\angle CBD’) &= \frac{\overline{D’B}}{\overline{BC}} \,\,\, |\cdot \overline{BC} \\
\overline{D’B} &= \overline{BC} \cdot cos(\angle CBD’) \\
&= 10 \cdot cos(109,62° – 90°) \\
\Rightarrow &\overline{D’B} = 9,42 cm \\
\\
&\angle ADC \, mit \, der \, Innenwinkelsumme: \\
180° &= \angle ADC + \angle DCA + \angle CAD \\ \angle ADC &= 180° – \angle DCA – \angle CAD \\ &= 180° – 42,28° – 50° \\ \Rightarrow &\angle ADC = 87,72° \\
\\ & \overline{CD} \, mit \, dem \, Sinussatz: \\
\frac{\overline{CD}}{sin(\angle CAD)} &= \frac{\overline{AC}}{sin(\angle ADC)} \,\,\, |\cdot sin(\angle CAD) \\ \overline{CD} &= \frac{ \overline{AC}}{sin(\angle ADC)} \cdot sin(\angle CAD) \\ &= \frac{14}{sin(87,72°)} \cdot sin(50°) \\ \Rightarrow &\overline{CD} = 10,73 cm \\ \\
&A_{Trapez}\, mit \, der \, Flächenformel: \\
A &= 0,5 \cdot ( \overline{AB} + \overline{CD} )\cdot \overline{D’B} \\ &= 0,5 \cdot (7 + 10,73) \cdot 9,42 \\ \Rightarrow &A_{Trapez} = 83,51 cm^2 \end{align}

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\begin{align} &A_{Kreis} \, mit \, der \, Flächenformel: \\ A_{Kreis} &= r^2 \cdot pi \\ &= 2^2 \cdot \pi \\ \Rightarrow &A_{Kreis}= 12,57 cm^2 \\ \\ &p \, mit \, der \, Prozentformel \\ p &= \frac{A_{Kreis}}{A_{Gesamt}} \cdot 100 \& \\ &= \frac{12,57}{83,51} \cdot 100 \% \\ \Rightarrow &p = 15,05 \% \end{align}

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Die Figur setzt sich aus einem Drachenviereck AEMF und dem Kreisbogen zusammen. Das Drachenviereck besteht aus zwei rechtwinkligen Dreiecken. Damit ergbt sich als Zusammensetzung:

\(\)

Um den Flächeninhalt des Dreiecks zu berechnen, benötigst du die Länge der Stecke [AE], für den Kreissektor den eingeschlossenen Winkel.

\begin{align} &\overline{AE} \, mit \, dem \, Tangens: \\ tan(\angle EAM) &= \frac{\overline{ME}}{\overline{AE}} \, \, \, |\cdot \overline{AE} : tan(\angle EAM) \\ \overline{AE} &= \frac{\overline{ME}}{tan(\angle EAM)} \\ &= \frac{2}{tan(25°)} \\ \Rightarrow &\overline{AE} = 4,29 \\ \\ &\angle FME \, mit \, der \, Innenwinkelsumme: \\ 360° &= \angle FME + \angle MEA + \angle EAF + \angle AFM \\ &= \angle 360° + 90° + 50° + 90° \\ \angle FME &= 360° – 90° – 50 ° – 90° \\ \Rightarrow &\angle FME = 130° \\ \\ & Berechnung des Flächeninhalts: \\ A &= 2 \cdot A_{Dreieck} – A_{Sektor} \\&= 2 \cdot 0,5 \cdot \overline{AE} \cdot \overline{ME} – \frac{\angle FME}{360°} \cdot \overline{ME}^2 \cdot \pi \\ &= 2 \cdot 0,5 \cdot 4,29 \cdot 2 – \frac{130°}{360°} \cdot 2^2 \cdot \pi \\ \Rightarrow &A = 4,04 cm^2 \end{align}

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5 Kommentare zu „2019 Haupttermin Teil B1: Ebene Geometrie“

  1. Hallo, bei der 1.3 muss beim aller letzten Ergebnis cm hoch 2 und nicht cm hoch 3 hin ( bei A Trapez = 83,51 cm3 ). LG!

    1. Bei der Abschlussprüfung 2019 HT B1 bei Aufgabe 1.5 ist der Winkel in der Lösung falsch benannt. Der Winkel heißt nicht AEM sondern EAM, oder?

      1. Hallo Julia,
        danke für den Kommentar! Ja, da hatte sich ein Tippfehler eingeschlichen. Gerne wieder kommentieren, wenn etwas komisch wirkt, das hilft dem MAP-Hack weiter.
        Viel Erfolg bei deiner Vorbereitung!
        Tobias Cobanov

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