2019 Haupttermin Teil A2: Quadratische Funktionen

Die Punkte B und C haben die selbe Abszisse, also kannst du die Länge der Strecke [BC] durch “oben – unten” berechnen.

\begin{align} & \overline{B_n C_n} (x) \, durch \, oben \, – \, unten: \\ \overline{B_n C_n} (x) &= y_{p_2} – y_{p_1} \\ &= -0,2x^2 + 1,5x + 1 – (0,4x^2 -1,8x – 4) \\ &= -0,2x^2 + 1,5x + 1 – 0,4x^2 +1,8x + 4 \\ \Rightarrow & \overline{B_n C_n} (x) = (-0,6x^2 + 3,3x + 5) LE \end{align}

Nimm den funktionalen Zusammenhang für die Länge der Strecke [BC] und setzte sie gleich 10. Löse anschließend die quadratische Gleichung.

\begin{align} \overline{B_n C_n} &= 10 \\ -0,6x^2 + 3,3x + 5 &= 10 \, \, \, |-10 \\ -0,6x^2 + 3,3x -5 &= 0 \\ \Rightarrow GTR: \, Keine \, Lösung \end{align}

Weil die Gleichung keine Lösung hat, gibt es kein Dreickeck mit der Seitenlänge 10 von [BC].

Es ist auch möglich den Extemwert des quadratischen Terms mit dem GTR zu bestimmen: Maximaler Termwert: 9,54 LE. Weil die maximale Strecke 9,54 LE lang ist, gibt es keine Seite mit Länge 10 LE.

Nach dem Mittelpunk wird selten gefragt! Kann man lernen, aber erst, wenn die Grundlagen sitzen!

Der Mittelpunkt ergibt sich durch Mittlung der y-Koordinaten. Sie werden addiert und durch zwei geteilt. Genau wie beim Klassendurchschnitt bei zwei Schülern.

\begin{align} y_M &=\frac{y_B + y_C}{2} \\ &= \frac{-0,2x^2 + 1,5x + 1 + 0,4x^2 – 1,8x – 4} {2} \\ &= \frac{0,2x^2 – 0,3x – 3}{2} \\ \Rightarrow &y_M = 0,1x^2 -0,15x -1,5 \end{align}

Strategie-Tipp vorneweg: Weil die funktionale y-Koordinate des Mittelpunkts in der vorletzten Aufgabe berechnet wurde, wirst du ihn jetzt brauchen.

Das Dreieck soll gleichschenklig mit [BC] als Basis sein. Ein gleichschenkliges Dreieck ist achsensymmetrisch und die Achse steht senkrecht auf die Basis und läuft durch den gegenüberliegenden Punkt. Weil die Basis [BC] vartikal verläuft, muss die Symmetrieachse horizontal verlaufen. A und der Mittelpunkt M müssen also die selbe y-Koordinate haben, weil die Verbindungslinie (Symmetrieachse) sonst nicht horizontal verläuft.

\begin{align} y_M &= y_A \, mit \, y_A = 1 \\ y_M &= 1 \\ 0,1x^2 – 0,15x – 1,5 &= 1 \,\, \, |-1 \\ 0,1x^2 -0,15x -2,5 &= 0 \\ \Rightarrow &GTR: (x_1 = -4,31 \lor) x_2 = 5,81 \end{align}