2016 Haupttermin B1: Quadratische Funktionen

Der Scheitelpunkt der Parabel ist gegeben, also arbeitest du mit der Scheitelform. Setze den Öffnungsfaktor 0,25, den du aus der Angabe weißt, in die Scheitelform \( y = a \cdot (x – x_s)^2 + y_s \) ein. Danach setzt du die Koordinaten von S(4|-2) ein. Löse die Klammer mit einer binomischen Formel auf und vereinfache soweit wie möglich.

\begin{align} y &= a \cdot (x – x_s)^2 + y_s \, \text{mit S(4|-2)}\\
&= 0,25 \cdot (x – 4 )^2 – 2 \\
&= 0,25 \cdot (x^2 – 8x + 16) – 2 \\
&= 0,25x^2 – 2x + 4 – 2 \\
\Rightarrow &y = 0,25x^2 – 2x + 2 \end{align}

Zwei Gerade sind genau dann senkrecht aufeinander, wenn die Multiplikaton ihrer Steigungen -1 ergibt (\( m_1 \cdot m_2 = -1 \)). Aus den gegeben Punkten berechnest du die Steigungen und überprüfst die Rechtwinkligkeit an dieser Eigenschaft.

\begin{align} & \text{Berechnung der Steigungen}: \\
&A(0|2) \, ; \, B_1(6|1) \, ; \, C(6|-1): \\
m_{AB_1} &= \frac{\, y_B \, – \, y_A \,}{x_B \, – \, x_A} \\
&= \frac{\, -1 \, – \, 2 \,}{6 \, – \, 0} \\
\Rightarrow &m_{AB_1} = – 0,5 \\
\\
m_{B_1C} &= \frac{\, y_C \, – \, y_B \,}{x_C \, – \, x_B} \\
&= \frac{\, \, – \, (-1) \,}{10 \, – \, 6} \\
\Rightarrow &m_{AB_1} = 2 \\
\\
&\text{Überprüfung der Eigenschaft:}\\
m_{AB_1} \cdot m_{B_1 C} &= -0,5 \cdot 2 = -1 \\
\Rightarrow &\text{Die Geraden stehen senkrecht, bei } B_1\end{align}

Weil die Punkte auf der x-Achse liegen, gilt y = 0. Damit lassen sich über die Parabelgleichung die x-Werte bestimmen:

\begin{align} y &= 0,25x^2 – 2x + 2 \, \, \, \text{mit } y = 0 \\
0 &= 0,25x^2 -2x + 2 \\
\Rightarrow &\text{GTR: } x_2 = 1,17 \, \lor \, x_3 = 6,83\\
\Rightarrow &B_2(1,17|0) \, ; \, B_3(6,83|0) \end{align}

Das Drachenviereck lässt sich in zwei kongruente Dreiecke ABC zerlegen. Den Flächeninhalt dieser Dreiecke lässt sich über die Determinante bestimmen.

Leider kann ich aktuell noch keine Vektoren in LaTex formatieren. Wer mir da helfen kann, darf mir gerne ein Feedback schreiben. Solang gibt es die Lösung vom ISB:

Bei einer Raute stehen die Diagonalen im Mittelpunkt senkrecht aufeinander. Über diese Eigenschaft lässt die die Aufgabe lösen. Aus der Eigenschaft, dass die Geraden senkrecht stehen bestimmst du die Steigung und setzt dann den Mittelpunkt in die Punkt-Steigungs-Form ein und löst auf.

\begin{align} &\text{Berechnung von M:} \\
M&(\frac{\,x_A \, + \, x_C\,}{2} \, | \,\frac{\, y_A \, + \, y_C}{2})\\
M&(\frac{\,0 \, + \, 10 \,}{2} \,| \, \frac{\, 2 \, + \, 7\,}{2}) \\
M&(5 \, | \, 4,5) \\
\\
&\text{Berechnung der Steigung:}\\
m \cdot m_g &= -1 \\
m \cdot 0,5 &= -1 \, \, |:0,5 \\
\Rightarrow &m = -2 \\
\\
&\text{Einsetzen in die PS-Form}: \\
y &= m \cdot (x – x_M) + y_M \,\,\ \text{mit }M(5\, | \, 4,5)\text{ und } m = -2 \\
y &= -2 \cdot (x – 5) + 4,5 \\
\Rightarrow y&=-2x + 14,5 \end{align}