2022 Nachtermin B2: Raumgeomtrie

\begin{align} &\text{Berechnung von } |\overline{CS}| \text{ mit dem Satz des Pythagoras:}\\
|\overline{CS}|^2 &= |\overline{MC}|^2 + |\overline{MS}|^2 \\
&= 6^2 + 8^2 \,\,\, |\sqrt{} \\
\Rightarrow &|\overline{CS}| = 10 cm \\
\\
&\angle MSC \text{ mit dem Tangens:}\\
tan(\angle MSC) &= \frac{|\overline{CM}|}{|\overline{MS}|}\\
&= \frac{6}{8} \,\,\, |tan^{-1}\\
\Rightarrow &\angle MCS = 36,87° \end{align}

Zeichnung siehe B2.1

Weil du keine Höhe im Dreieck kennst, ist die Sinusformel mit dem Winkel MCS ein guter Ansatz. Im Text verstecken sich die Längen für die anliegenden Seiten und wir können direkt rechnen:

\begin{align} A_{TSP_1} &= 0,5 \cdot |\overline{SP_1}| \cdot |\overline{ST}| \cdot sin(\angle MSC) \\
&= 0,5 \cdot (8 – 2) \cdot 3 \cdot sin(36,87°) \\
\Rightarrow &A_{TSP_1} = 5,40 cm^3 \end{align}

Das war der einfache Teil, kommen wir zum schwierigen. Im Dreieck TPS hast du zwar drei Angaben, kannst aber nicht direkt den gesuchten Winkel bestimmen.
Zuerst rechnet man mit dem Cosinussatz die Länge der Strecke \( \overline {P_1 T} \), um dann genug Angaben zur Berechnung des Winkels zu haben.

\begin{align} &\text{Berechnung von } |\overline{TP_1}| \text{ mit dem Cosinussatz:}\\
|\overline{TP_1}|^2 &= |\overline{SP_1}|^2 + |\overline{ST}|^2 – 2 \cdot |\overline{ST}| \cdot |\overline{SP_1}| \cdot cos(\angle MST) \\
&= 6^2 + 3^2 – 2 \cdot 6 \cdot 3 \cdot cos(36,87°)\,\,\, |\sqrt{}\\
\Rightarrow &|\overline{TP_1}| = 4,02 cm \\
\\
&\text{Berechnung von } \angle TP_1S \text{ mit dem umgeformten Cosinussatz:}\\
cos(\angle TP_1S) &= \frac{|\overline{TP_1}|^2 + |\overline{SP_1}|^2 – |\overline{ST}|^2}{2 \cdot |\overline{TP_1}| \cdot |\overline{SP_1}|}\\
&= \frac{4,02^2 + 6^2 – 3^2}{2 \cdot 4,02 \cdot 6 } \,\,\, |cos^{-1} \\
\Rightarrow &\angle TP_1S = 26,53° \end{align}

Zeichnung siehe B2.1

Um den Wert für x zu berechnen, verwendest du für die Länge der Strecke \( \overline{SP_n} \) den Term in Abhängigkeit von x.
ACHTUNG: Der rechte Winkel ist bei T auf der Seitenkante, NICHT auf der Höhe bei P!

\begin{align} cos{\angle MSC} &= \frac{|\overline{ST}|}{|\overline{SP_2}|} \\
cos(36,87°) &= \frac{3}{8 – x} \,\,\, |\cdot (8 – x) \\
cos(36,87°) \cdot (8 – x) &= 3 \,\,\, |:cos(36,87°) \,(=0,80) \\
8 – x &= 3,75 \,\,\, – 8 \\
x &= – 4,25 \,\,\, |\cdot(-1)\\
x &= 4,25 \end{align}

Zeichnung siehe B2.1

Hier ist erstmal genaues Hinsehen angesagt: Die Pyramide QRST hat die Grundfläche QRS und die Höhe HT. Sie liegt “schräg” in der größen Pyramide.
Zur Berechnung des Pyramidenvolumens musst du also die Grundfläche (das Dreieck QRS) in Abhängigkeit von x und die Höhe bestimmen.
Für Die Grundfläche benötigst du die Streckenlänge \( |\overline{Q_n R_n}| \). Und weil diese parallel zu \( \overline{CD} \) liegt, funktionert das mit dem Vierstreckensatz:

\begin{align} &|\overline{Q_nR_n}| \text{ mit dem Vierstreckensatz:}\\
\frac{ |\overline{Q_n R_n}| }{ |\overline{BD}| } &= \frac{|\overline{SP_n}|}{|\overline{SM}|} \\
\frac{|\overline{Q_n R_n}|}{10} &= \frac{8 – x} {8} \,\,\, |\cdot 10 \\
|\overline{Q_n R_n}| &= \frac{90 – 10x} {8} \\
\Rightarrow & |\overline{Q_n R_n}| = (10 – 1,25x) cm \\
\\
&|\overline{HT}| \text{ mit dem Vierstreckensatz:}\\
\frac{|\overline{HT}|}{|\overline{CM}|} &= \frac{|\overline{ST}|}{|\overline{SC}|} \\
\frac{|\overline{HT}|}{6} &= \frac{3}{10} \,\,\, |\cdot 6 \\
\Rightarrow &|\overline{HT}| = 1,8 cm \\
\\
&\text{Einsetzen in die Flächenformel:}\\
V &= \frac{1}{3} \cdot A_g \cdot h \\
&= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot |\overline{Q_n R_n}| \cdot |\overline{SP_n}| \cdot |\overline{HT}|\\
&= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot (10 – 1,25x) \cdot (8 – x) \cdot 1,8 \\
&= 0,3 \cdot (10 – 1,25x) \cdot (8 – x) \\
&= 0,3 (80 – 10x – 10x + 1,25x^2) \\
&= 0,3 (1,25x^2 – 20x + 80) \\
\Rightarrow &V(x) = (0,375x^2 -6x + 24) cm^3 \end{align}

Mit dem Taschenrechner kannst du im Menü A, 2, 2 den Term aus 2.5 eingeben und den Extremwert bestimmen. \( x = 0 \text{ und } V_{max} = 24 cm^3 \)

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