MAP – 2022 Haupttermin – A2: Ebene Geometrie

\begin{align}&\angle DBA \text{ mit dem Sinussatz:}\\
\frac{sin(\angle DBA)}{|\overline{AD}|} &= \frac{sin(\angle ADB)}{|\overline{AB}|}\\
\frac{sin(\angle DBA)}{3} &= \frac{sin(80°)}{8} \,\,\,|\cdot 3 \\
sin(\angle DBA)&= \frac{sin(80°)}{8} \cdot 3 \,\,\, |sin^{-1}\\
\Rightarrow &\angle DBA = 21,67° \end{align}
Um \( |\overline{BD}|\) zu berechnen, brauchst du den Winkel BAD. Diesen kannst du mit der Innenwinkelsumme des Dreiecks bestimmen.
\begin{align} \angle BAD \text{ mit der Innenwinkelsumme:}\\
\angle BAD &= 180° – 80° – 21,67° = 78,33° \\
\\
&|\overline{BD}| \text{ mit dem Cosinussatz:}\\
|\overline{BD}|^2 &= |\overline{AB}|^2 + |\overline{AD}|² – 2 \cdot |\overline{AB}| \cdot |\overline{AD}| \cdot cos(\angle BAD) \\
&= 8^2 + 3^2 – 2 \cdot 8 \cdot 3 \cdot cos(78,33°)\\
\Rightarrow &|\overline{BD}|= 9,76 cm \end{align} \\

Weil das Viereck keine Regelmäßigkeit besitzt, musst du es in zwei Dreiecke zerteilen. Die Diagonalenlänge BD ist als Ersatzergebnis gegeben, also brauchst du sie wahrscheinlich.
Das Viereck wird in ABD und BCD zerteilt und deren Flächeninhalte mit der Sinus-Formel berechnet.
\begin{align} &A_{ABD} \text{ mit der Sinus-Formel:}\\
A_{ABD} & = 0,5 \cdot |\overline{AB}| \cdot |\overline{BD}| \cdot sin(\angle DBA) \\
&= 0,5 \cdot 8 \cdot 3 \cdot sin(21,67°) \\
\Rightarrow &A_{ABD}= 4,43 cm² \\
\\
&A_{BCD} \text{ mit der Sinusformel:}\\
A_{BCD} & = 0,5 \cdot |\overline{BD}| \cdot |\overline{BC}| \cdot sin(\angle CBD) \\
&= 0,5 \cdot 7,96 \cdot 8 \cdot sin(110° – 21,67°) \\
\Rightarrow &A_{ABD}= 31,83 cm² \\
\\
A_{ges} &= 4,43 + 31,83 = 36,26 cm^2 \end{align}

Weil EM zu AB parallel ist, ist ABME ein Trapez. Damit gilt:

\begin{align} \angle MBA + \angle EMB &= 180° \text{ Ergänzungswinkel} \\ 110° + \angle EMB &= 180° \\ \angle EMB &= 70° \\ \\ &\text{Berechnung der Bogenlänge b:}\\ b &= \frac{\angle EMB}{360°} \cdot 2 \cdot |\overline{MC}| \cdot \pi \\ &= \frac{70°}{360°} \cdot 2 \cdot 4 \cdot \pi \\ \Rightarrow &b = 4,89 cm \end{align}

\begin{align} A \text{ mit der Sektorformel:}\\
A &= \frac{\angle EMB}{360°} \cdot |\overline{MC}|^2 \cdot \pi \\
&= \frac{70°}{360°} \cdot 4^2 \cdot \pi\\
\Rightarrow &A = 9,77 cm^2 \\
\\
&p \text{ mit der Prozentformel:}\\
p &= \frac{Anteil}{Gesamt} \cdot 100 \% \\
&= \frac{9,77}{43,58} \cdot 100 \% \\
\Rightarrow &p = 22,42 \% \end{align}

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