2022 Haupttermin A1: Rotationskörper

\begin{align} &|\overline{CM}| \text{mit dem Vierstreckensatz:} \\ \frac{ |\overline{CM}| }{ |\overline{CN}| }&=\frac{ |\overline{AM}| } { |\overline{BN}| } \\ \frac{ |\overline{CM}| }{5,5}&= \frac{4,5}{2,5}\,\,\, |\cdot 5,5 \\ \Rightarrow |\overline{CM} | = 9,9 cm \end{align}


Das gesuchte Volumen setzt sich aus einem Kegelstumpf und einer Halbkugel zusammen. Für den Kegelstumpf wird das Volumen des großen Kegels (ACE) und des kleinen Kegels (BCD) benötigt.
\begin{align}&\text{Volumen der Halbkugel:}\\
V_{HK} &= \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot |\overline{AM}|^3 \cdot \pi \\
&= \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot 2,5^3 \cdot \pi \\
\Rightarrow &V_{HK} = 32,72 cm^3 \end{align}

\begin{align} &\text{Volumen des großen Kegels:}\\
V_{gK} &= \frac{1}{3} \cdot |\overline{AM}|^2 \cdot \pi \cdot |\overline{MC}| \\
&= \frac{1}{3} \cdot 4,5^2 \cdot \pi \cdot 9,9\\
\Rightarrow &V_{gK} = 209,94 cm^3 \end{align}

\begin{align}&\text{Volumen des kleinen Kegels:} \\
V_{kK} &= \frac{1}{3} \cdot |\overline{BN}|^2 \cdot \pi \cdot |\overline{NC}| \\
&= \frac{1}{3} \cdot 2,5^2 \cdot \pi \cdot 5,5\\
\Rightarrow &V_{gK} = 36,00 cm^3 \\
\\
V_{ges} &= V_{gK} – V_{kK} – V\\
&= 209,93 – 36,00 – 32,72 \\
\Rightarrow &V_{ges} = 142,21 cm^3 \end{align}

\( m = 141,21 \cdot 2,7 = 381 g \)

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