2019 Nachtermin B2: Ebene Geometrie

\begin{align}& \overline{CM} \, mit \, dem \, Satz \, des \, Pythagoras: \\
\overline{BC}^2 &= \overline{CM}^2 + \overline{BM}^2 \, \, |-\overline{BM}^2 \\
\overline{CM}^2 &= \overline{BC}^2 – \overline{BM}^2 \\
&= 6^2 – 3^2 \\ \Rightarrow &\overline{CM} = 5,20 cm \end{align}

Weil die Dreieck ABD und BCD gleichseitig sind, folgt für \( \beta = 2 \cdot 60° = 120° \).

Na, ist dir etwas aufgefallen? Ja, die Punkte sind hier falsch beschriftet. Achte auf die richtige Buchstaben, dass du bei der Berechnung der Längen keinen Knoten in den Kopf bekommst! Die richtige Punktbeschriftung findest du in der Skizze bei B2.0

\begin{align} & \overline{OP} \, mit \, angegebener \, Formel: \\
\overline{OP} &= 0,6 \cdot 5,2 = 3,12 cm \\
\\
& \overline{MG} \, mit \, Vierstreckensatz: \\ \
frac{\overline{MG}}{\overline{MH}} &= \frac{\overline{OP}}{\overline{RQ}} \\
\frac{\overline{MG}}{6,5} &= \frac{3,12}{5,2} \, \, \, |\cdot 6,5 \\
\overline{MG} &= \frac{3,12}{5,2} \cdot 6,5 \\
\Rightarrow & \overline{MH}= 3,90 cm \\
\\
& \overline{MR} \, mit \, dem \, Satz \, des \, Pythagoras: \\
\overline{MR}^2 &= \overline{MH}^2 + (0,5 \cdot \overline{RQ})^2 \\
&= 6,5^2 + (0,5 \cdot 5,2)^2 \\
\Rightarrow \overline{MR} &= 7,00 cm \\
\\
&\overline{MO} \, mit \, Vierstreckensatz: \\
\frac{\overline{MO}}{\overline{MR}} &= \frac{\overline{MG}}{\overline{MH}} \\
\frac{\overline{MO}}{7,00} &= \frac{3,90}{6,5} \,\, \, |\cdot 7,00 \\
\overline{MO} &= \frac{3,90}{6,5} \cdot 7,00 \\ \Rightarrow &\overline{MO} = 4,20 \\
\\
&\overline{OR} \, als \, Differenz: \\
\overline{OR} &= \overline{MR} – \overline{MO} \\
&= 7,00 – 4,20 \\
\Rightarrow &\overline{OR} = 2,80 cm. \end{align}

Zurück zum MAP-Hack:

Zurück zum MAP-Hack:

Weil die Figur symmetrisch ist, kannst du den oberen Kreisbogen von A zu O berechnen und dann verdoppeln. Die Länge der Strecke \(\overline{OR} = 2,80 cm \) kommt doppelt vor und dann fehlt nurnoch \(\overline{RQ} = 5,2 cm\), dann bist du einmal außenrum.

\begin{align} &Ziel: u = 2 \cdot \frac{\angle OBA}{360°} \cdot 2 \overline{BC} \cdot \pi + 2 \cdot \overline{OR} + \overline{RQ} \end{align}

Zum Einsetzen brauchst du nurnoch den Winkel des Kreisbogens OBA, der sich aus den Winkeln OBD und DBA zusammensetzt. Der Winkel DBA hat das Maß 60°, weil das Dreieck gleichseitig ist.

\begin{align} & \angle OBM \, mit \, dem \, umgeformten \, Cosinussatz: \\ \overline{MO}^2 &= \overline{BO}^2 + \overline{BM}^2 – 2 \cdot \overline{BO} \cdot \overline{BM} \cdot cos(\angle OBM) \\ cos(\angle OBM) &= \frac{\overline{BO}^2 + \overline{BM}^2 – \overline{MO^2}}{2 \cdot \overline{BO} \cdot \overline{BM}} \\ &= \frac{6^2 +3^2 – 4,2^2}{2 \cdot 6 \cdot 3} \\ \Rightarrow & \angle OBM = 40,54° \\ \\ & \angle OBA \, mit \, Addition: \\ \angle OBA &= \angle OBM + \angle DBA \\ &= 40,54° + 60° \\ \Rightarrow &\angle OBA = 100,54° \\ \\ &Einsetzen \, in \, die\, Umfangsformel: \\ u &= 2 \cdot \frac{\angle OBA}{360°} \cdot 2 \overline{BC} \cdot \pi + 2 \cdot \overline{OR} + \overline{RQ} \\ &= 2 \cdot \frac{100,54°}{360°} \cdot 2 \cdot 6 \cdot \pi + 2 \cdot 2,80 + 5,2 \\ \Rightarrow &u = 31,86 cm \end{align}

Es werden \( 3 \cdot 31,86 = 95,58 cm \) Faden benötigt. Teilst du die 500m Faden pro Rolle durch diesen Wert, erhälst du die Anzahl von Firmelnlogos:

\begin{align} Anzahl &= l_{Rolle} : l_{Logo} \\ &= 500 \cdot 100 : 95,58 \\ \Rightarrow &Anzahl = 523,12 \end{align}

Es können höchstens 523 Firmenlogos hergestellt werden.

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