Übungsaufgabe 2: Exponentielles Wachstum

2.0 Der Wert eines zwei Jahre alten Gebrauchtwagens beträgt derzeit 12750 €. Bei gleichbleibendem prozentualen Wertverlust lässt sich nach x Jahren der Zeitwert y € des Wagens durch die Funktion f mit der Gleichung \( y = 12750 \cdot 0,84^x \) mit G = ℝ 0+ x ℝ 0+ beschreiben.

2.1         Ergänzen Sie die Wertetabelle auf Ganze gerundet.
Zeichnen Sie sodann den Graphen zu f in das Koordinatensystem ein.

x0246810
y      
x0246810
y1275089966348447931602230

2.2         Welcher prozentuale jährliche Verlust wird angenommen?
              Es sind ____ %.       

0,84 sind 0,16 weniger als 1. Das sind \( 0,16 \cdot 100 \% = 16 \% \)

2.3 Kosten für Autos können über sogenannte Abschreibungen über einen Zeitraum von 6 Jahren steuerlich geltend machen. Berechnen Sie den Restwert des Autos nach Ablauf der Abschreibung, wenn der PKW als Neuwagen angeschafft wurde.

Lösung zu 2.3

Von den 6 Jahren Abschreibung sind bereits 2 Jahre vergangen. Gesucht ist also \( f(4) \).

\( f(4) = 12750 \cdot 0,84^4 = 6223 \) €

2.4         Das Auto soll mit einem Zeitwert von 5000 € verkauft werden. Berechnen Sie, wie lange man mit dem Verkauf des Wagens warten muss.

\begin{align} f(x) &= 5000 \\
12500 \cdot 0,84^x &= 5000= \,\,\, |:12500 \\
0,84^x &= 0,4 \,\,\, |log_{0,84} \\
x &= 5,3 \text{Jahre} \end{align}

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