2022 Nachtermin B1: Quadratische Funktionen

Es sind zwei Punkte gegeben, also stellten wir zwei Gleichungen auf:

\begin{align}
(I) \, y &= -0,2x^2 + bx + c \,\,\, \text{ mit }P(-2|2,8)\\
&\land (II) \, y = -0,2x^2 +bx + c \,\,\, \text{ mit }Q(7|1)\\
\\
(I) \, 2,8 & = -0,2 \cdot (-2)^2 + b \cdot (-2) + c \\
&\land (II) \, 1 = -0,2\cdot 7^2 + b \cdot 7 + c \\
\\
(I) \, 2,8 &= -0,8 -2b + c \,\,\, |+0,8 \\
&\land (II)\, 1 = -9,8 + 7b + c \,\,\, |+9,8 \\
\\
(I) 3,6 &= -2b + c \\
&(II) 10,8 = 7b + c \\
\\
\Rightarrow &GTR \Rightarrow Mode A \Rightarrow 1 \Rightarrow 2 \\
\Rightarrow b &= 0,8 ; c = 5,2\\
\\
y &= -0,2x^2 + 0,8x + 5,2 \end{align}

Einzeichnen der Trapeze. Siehe 1.1

Für den Flächeninhalt des Trapezes benötigst du die Längen der parallelen Strecken (Hier \( \overline{AB} \text{ und } \overline{CD} \) und die Höhe.
Die Höhe ist der Abstand der Stecken \( \overline{AB} \text{ und } \overline{CD} \). Weil die Abszisse von C und D laut Angabe immer um 3 größer ist, ist die Höhe des Trapezes also 3.
Die Länge der Strecke \( \overline{AB} \) berechnet man durch „Oben – unten“:

\begin{align} &|\overline{AB}| \text{ durch „oben-unten“:}\\
|\overline{A_n B_n}|(x) &= y_{parabe}l – y_{gerade} \\
&= -0,2x^2 +0,8x + 5,2 – (-0,2x -1) \\
&= -0,2x^2 +0,8x + 5,2 + 0,2x +1 \\
\Rightarrow |\overline{A_n B_n}| = -0,2x^2 + x + 6,2 \\
\\
&A(x) \text{mit der Flächenformel des Trapezes:}\\
A(x) &= \frac{1}{2} \cdot ( |\overline{A_n B_n}| + |\overline{C_n D_n}| ) \cdot h \\
&= 0,5 \cdot (-0,2x^2 +x + 6,2 + 4) \cdot 3 \\
&= 1,5 \cdot (-0,2x^2 +x + 10,2) \\
\Rightarrow &A(x) = -0,3x^2 + 1,5x + 15,3 \\
\\
&\text{Bestimmung des Extremwerts mit dem GTR:}\\
&\Rightarrow GTR \Rightarrow Mode A \Rightarrow 2 \Rightarrow 2 \\
&A_max = 17,18 FE \text{ für } x = 2,5 \end{align}

Um eine Gleichung aufzustellen, setzte einfach den Flächenterm aus 1.3 mit dem gesuchten Wert 16,5 gleich.

\begin{align} &\text{Gleichsetzen mit dem Term aus 1.3}\\
A(x) = 16,5 \\
-0,3x^2 + 1,5x + 15,3 &= 16,5 \,\,\, |-16,5 \\
-0,3x^2 + 1,5x – 1,2 &= 0 \\
&\Rightarrow GTR \Rightarrow Mode A \Rightarrow 2 \Rightarrow 2 \\
x_1 = 1 \, \lor \, x_2 = 4 \end{align}

Weil die Abszisse x von D immer um 3 größer ist, setzt du im Funktionsterm für jedes x ein (x+3) ein und vereinfachst. Ja, das ist schon alles.

\begin{align} y_D &= -0,2 \cdot (x + 3) ^2 + 0,8 \cdot (x + 3) + 5,2 \\
&= -0,2 \cdot (x^2 + 6x + 9) + 0,8x + 2,4 + 5,2 \\
&= -0,2x^2 – 1,2x – 1,8 + 0,8x + 2,4 + 5,2 \\
\Rightarrow &y = -0,2x^2 – 0,4x + 5,8 \end{align}

Wenn \( \overline{AD} \) parallel zur x-Achse ist, dann liegen A und D auf derselben Höhe, haben also den selben y-Wert.
Der y-Wert von A ist gleich dem Parabel-Term und der y-Wert von D kann durch den Term aus 1.5 ersetzt werden. So lässt sich eine Gleichung aufstellen.

\begin{align} y_A &= y_D \\
-0,2x^2 + 0,8x + 5,2 &= -0,2x^2 – 0,4x + 5,8 \,\,\, |+0,2x^2 + 0,4x – 5,8 \\
0 \cdot x^2 + 1,2x – 0,6 &= 0 \\
1,2x – 0,6 &= 0 \,\,\, |+0,6 \\
1,2x &= 0,6 \,\,\, |:1,2 \\
x &= 0,5 \end{align}

Diese 0,5 kannst du nun in den Flächenterm aus 1.3 einsetzen und die Aufgabe schnell lösen.

\begin{align} A(0,5) &= -0,3 \cdot 0,5^2 + 1,5 \cdot 0,5 + 15,3 \\
\Rightarrow &A(0,5) = 15,98 FE \end{align}