2022 Nachtermin A2: Ebene Geometrie

Das Dreieck hat keinen rechten Winkel, also darfst du nur Cosinus-Satz oder Sinus-Satz verwenden. Du hast aber keinen Winkel gegeben!

\begin{align} &\angle BAC \text{ mit dem umgeformten Cosinussatz:}\\
cos(\angle BAC) &= \frac{|\overline{AB}|^2 +|\overline{AC}|^2 – |\overline{BC}|^2}{2 \cdot |\overline{AB}| \cdot |\overline{AC}|}\\
&= \frac{4^2 + 12^2 – 10^2}{2 \cdot 4 \cdot 12}\,\,\, |cos^{-1} \\
\Rightarrow &\angle BAC = 51,32° \end{align}

Hier geht es zur allgemeinen Erklärung:

Genau lesen! Von welcher Strecke ist es der Mittelpunkt? Bis wohin geht die Kreislinie?

Hier geht es zur allgemeinen Erklärung:

Ein Kreis über einer Strecke ist die Vorraussetzung für den Satz des Thales. Was besagt der Satz des Thales?

Der Winkel ADC hat das Maß 90°, weil der Punkt D auf dem Thaleskreis über die Strecke \( \overline{AC} \) liegt.
Das Dreieck AMD ist gleichseitig, da \( |\overline{AM}| = |\overline{DM}| = |\overline{AD}| = 6 cm \)

Hier geht es zur allgemeinen Erklärung:

Achtung genau lesen! Die gesuchte Figur setzt sich auf dem Kreisbogen und den Dreiecken ABC bzw. CDM zusammen. Hier bietet es sich an die Flächeninhalte der Dreiecke mit der Sinusformel zu berechnen, weil man jeweils einen eingeschlossenen Winkel kennt.

\begin{align} &\text{Berechnung der Teilflächen:}\\
A_{Sektor} &= \frac{\angle DMA}{360°} \cdot |\overline{AM}|^2 \cdot \pi \\
&= \frac{60°}{360°} \cdot 6^2 \cdot \pi \\
&= 18,85 cm^2 \\
\\
A_{ABC} &= 0,5 \cdot |\overline{AB}| \cdot |\overline{AC}| \cdot sin(\angle BAC)\\
&= 0,5 \cdot 4 \cdot 12 \cdot sin(51,32°)\\
&= 18,74 cm^2 \\
\\
A_{AMD} &= 0,5 \cdot |\overline{AM}| \cdot |\overline{DM}| \cdot sin(\angle DAM) \\
&= 0,5 \cdot 6 \cdot 6 \cdot sin(60°) \\
&= 15,59 cm^2 \\
\\
&\text{Addieren zur Gesamfläche:}\\
A &= 18,85 + 18,74 + 15,59 = 53,18 cm^2 \end{align}

Hier geht es zur allgemeinen Erklärung:

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