2022 Nachtermin A2: Ebene Geometrie

\begin{align} &\angle BAC \text{ mit dem umgeformten Cosinussatz:}\\
cos(\angle BAC) &= \frac{|\overline{AB}|^2 +|\overline{AC}|^2 – |\overline{BC}|^2}{2 \cdot |\overline{AB}| \cdot |\overline{AC}|}\\
&= \frac{4^2 + 12^2 – 10^2}{2 \cdot 4 \cdot 12}\,\,\, |cos^{-1} \\
\Rightarrow &\angle BAC = 51,32° \end{align}

Der Winkel ADC hat das Maß 90°, weil der Punkt D auf dem Thaleskreis über die Strecke \( \overline{AC} \) liegt.
Das Dreieck AMD ist gleichseitig, da \( |\overline{AM}| = |\overline{DM}| = |\overline{AD}| = 6 cm \)

Achtung genau lesen! Die gesuchte Figur setzt sich auf dem Kreisbogen und den Dreiecken ABC bzw. CDM zusammen. Hier bietet es sich an die Flächeninhalte der Dreiecke mit der Sinusformel zu berechnen, weil man jeweils einen eingeschlossenen Winkel kennt.

\begin{align} &\text{Berechnung der Teilflächen:}\\
A_{Sektor} &= \frac{\angle DMA}{360°} \cdot |\overline{AM}|^2 \cdot \pi \\
&= \frac{60°}{360°} \cdot 6^2 \cdot \pi \\
&= 18,85 cm^2 \\
\\
A_{ABC} &= 0,5 \cdot |\overline{AB}| \cdot |\overline{AC}| \cdot sin(\angle BAC)\\
&= 0,5 \cdot 4 \cdot 12 \cdot sin(51,32°)\\
&= 18,74 cm^2 \\
\\
A_{AMD} &= 0,5 \cdot |\overline{AM}| \cdot |\overline{DM}| \cdot sin(\angle DAM) \\
&= 0,5 \cdot 6 \cdot 6 \cdot sin(60°) \\
&= 15,59 cm^2 \\
\\
&\text{Addieren zur Gesamfläche:}\\
A &= 18,85 + 18,74 + 15,59 = 53,18 cm^2 \end{align}

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