2021 Nachtermin B2: Raumgeometrie

\begin{align} &|\overline{AS}| \text{ mit dem Satz des Pythagoras:}\\
|\overline{AS}|^2 &= |\overline{AM}|^2 + |\overline{MS}|^2 \\
&= 9^2 + 8^2 \,\,\,|\sqrt{} \\
\Rightarrow &|\overline{AS}| = 12,04 \text{cm}\\
\\
&\angle SCA \text{ mit dem Tangens:}\\
tan(\angle SCA) &= \frac{|\overline{MS}|}{|\overline{AC}| – |\overline{AM}|} \\
&= \frac{8}{13-9} \,\,\, |tan^{-1}\\
\Rightarrow &\angle SCA = 63,43° \end{align}

Einzeichnen des Punktes N und der Strecke [AF]. – Siehe B2.1
\begin{align} &\angle CAF \text{ mit dem Tangens:}\\
tan(\angle CAF) &= \frac{|\overline{MN}|}{|\overline{AM}|} \\
&= \frac{2,5}{9} \\
\Rightarrow &\angle CAF = 15,52° \end{align}

Einzeichnen der Strecke \(\overline{EG}\) und das Drachenviereck AEFG. – Siehe B2.1

\begin{align} &|\overline{AF}| \text{ mit dem Sinussatz:}\\
\frac{|\overline{AF}|}{sin(\angle SCA)} &= \frac{|\overline{AC}|}{sin(\angle AFC)}\\
\text{mit } \angle AFC &= 180° – \angle SCA – \angle CAF \\
&= 180° – 63,43° – 15,52° \\
\frac{|\overline{AF}|}{sin(63,43°)} &= \frac{13}{sin(101,05°)} \,\,\, |\cdot sin(63,43°) \\
\Rightarrow &|\overline{AF}| = \frac{13}{sin(101,05°)} \cdot sin(63,43°) \\
&= 11,87 \text{cm} \\
\\
&|\overline{EG}| \text{ mit dem Vierstreckensatz:}\\
\frac{|\overline{EG}|}{|\overline{BD}|} &= \frac{|\overline{MS}|- |\overline{MN}|}{|\overline{MS}|}\\
\frac{|\overline{EG}|}{12} &= \frac{8 – 2,5}{8} \,\,\, |\cdot 12 \\
\Rightarrow &|\overline{EG}| = \frac{5,5}{8} \cdot 12 = 8,25 \text{cm} \\
\\
&\text{ Einsetzen in die Flächenformel}\\
A_{AEFG} &= 0,5 \cdot |\overline{AF}| \cdot |\overline{EG}| \\
&= 0,5 \cdot 11,87 \cdot 8,25 \\
\Rightarrow &A_{AEFG} = 48,96 \text{cm}^2 \end{align}

Das Ergebnis weicht aufgrund eines anderen Rechenweges vom Ersatzergebnis ab.

Leider habe ich im Video den Taschenrechner falsch abgeschrieben. Der Rechenweg passt, das Ergebni sist aber 48,88 nicht ,44. Bitte nicht wundern.

\begin{align} &\angle CAS \text{ mit dem Tangens:}\\
tan(\angle CAS) &= \frac{|\overline{MS}|}{|\overline{AM}|} \\
&= \frac{8}{9} \,\,\, |tan^{-1}\\
\Rightarrow &\angle CAS = 41,63° \\
\\
&\angle Q_n A P_n \text{ über Subtraktion:}\\
\angle Q_n A P_n &= \angle CAS – \angle CAF \\
&= 41,63° – 15,52° \\
\Rightarrow &\angle Q_n A P_n = 26,11° \\
\\
&\overline{P_n Q_n} \text{ mit dem Sinus:}\\
sin(\angle Q_n A P_n) &= \frac{|\overline{P_n Q_n}|}{x} \\
sin(26,11°) &= \frac{|\overline{P_n Q_n}|}{x}\,\,\, |\cdot x \\
\Rightarrow &|\overline{P_n Q_n}| = 0,44 \cdot x \text{ cm}\end{align}

\begin{align} &V(x) \text{ mit der Pyramidenformel:}\\
V(x) &= \frac{1}{3} \cdot A_{AEFG} \cdot |\overline{P_n Q_n}| \\
&= \frac{1}{3} \cdot 48,88 \cdot 0,44 \cdot x \\
\Rightarrow &V(x) = 7,17 \cdot x \text{cm}^3\\
\\
&\text{ Gleichsetzen mit } 14: \\
7,17 \cdot x &= 14 \,\,\, |:7,17 \\
\Rightarrow &x = 1,95 \end{align}