2021 Haupttermin B2: Raumgeometrie

\begin{align} &|\overline{AS}| \text{ mit dem Satz des Pythagoras:}\\
|\overline{AS}|^2 &= |\overline{AM}|^2 + |\overline{MS}|^2 \\
&= 9^2 + 10^2 \,\,\, |\sqrt{}\\
&\Rightarrow |\overline{AS}| = 13,45 cm\\
\\
&\angle MAS \text{ mit dem Tangens:}\\
tan(\angle MAS) &= \frac{|\overline{MS}|}{|\overline{AM}|} \\
&= \frac{10}{9}\,\,\, |tan^{-1}\\
&\Rightarrow \angle MAS = 48,01° \\
\\
&\text{Berechnung des Volumens:}\\
V_{ABCS} &= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot |\overline{AM}| \cdot |\overline{BC}| \cdot |\overline{MS}| \\
&= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 12 \cdot 10 \\
&\Rightarrow V_{ABCS} = 180 cm^3 \end{align}

\begin{align} &|\overline{DM}| \text{ mit dem Cosinussatz:}\\
|\overline{DM}|^2 &= |\overline{AD}|^2 + |\overline{AM}|^2 – 2 \cdot |\overline{AD}| \cdot |\overline{MA}| \cdot cos(\angle MAS) \\
&= 4^2 + 9^2 – 2 \cdot 4 \cdot 9 \cdot cos(48,01°) \,\,\, |\sqrt{}\\
&\Rightarrow |\overline{DM}| = 6,99 cm\\
\\
&\angle DMA \text{ mit dem Sinussatz:}\\
\frac{sin(\angle DMA)}{|\overline{AD}|} &= \frac{sin(\angle MAS)}{|\overline{DM}|} \,\,\, |\cdot |\overline{AD}| \\
sin(\angle DMA) &= \frac{sin(\angle MAS)}{|\overline{DM}|} \cdot |\overline{AD}| \\
&= \frac{sin(48,01°)}{6,99} \cdot 4 \,\,\, |sin^{-1}\\
&\Rightarrow \angle DMA = 25,17° \end{align}

Siehe B2.1

\begin{align} &\text{Ansatz zur Lösung:}\\
V &= \frac{1}{3} \cdot A_G \cdot h \\
&\text{mit }A_G = A_{PMQ} = \frac{1}{2} \cdot |\overline{P_n Q_n}| \cdot |\overline{RM}|\\
\\
&|\overline{P_n Q_n}| \text{ mit dem Vierstreckensatz:}\\
\frac{|\overline{P_n Q_n}|}{|\overline{BC}|} &= \frac{|\overline{SR_n}|}{|\overline{MS}|} \,\,\, |\cdot |\overline{BC}|\\
|\overline{P_n Q_n}| &= \frac{|\overline{SR_n}|}{|\overline{MS}|} \cdot |\overline{BC}| \\
&= \frac{x}{10} \cdot 12 \\
&\Rightarrow |\overline{P_n Q_n}| = 1,2x \\
\\
&\text{Einsetzen in } A_{PMQ}:\\
|\overline{RM}| &= 10 – x \\
A_{PMQ} &= \frac{1}{2} \cdot |\overline{P_n Q_n}| \cdot |\overline{RM}|\\
&= \frac{1}{2} \cdot 1,2x \cdot (10 – x) \\
&\Rightarrow A_{PMQ} = 6x – 0,6x^2 \\
\\
&|\overline{DF}| \text{ mit dem Vierstreckensatz:}\\
\frac{|\overline{DF}|}{|\overline{AM}|} &= \frac{|\overline{DS}|}{|\overline{AS}|} \,\,\, |\cdot |\overline{AM}| \\
|\overline{DF}| &= \frac{9,45}{13,45} \cdot 9 \\
&\Rightarrow |\overline{DF}| = 6,32 cm \\
\\
&\text{Einsetzen in den Ansatz:}\\
V &= \frac{1}{3} \cdot A_{PMQ}\cdot h\\
&=\frac{1}{3} \cdot (6x – 0,6x^2) \cdot 6,32 \,\,\, \text{ 6,32 und 1/3 in die Klammer multiplizieren} \\
&\Rightarrow V = (-1,26x^2 + 12,64x) cm^3 \end{align}

\begin{align} V(x) &= 10 \% \cdot V \\
-1,26x^2 + 12,64x &= 0,1 \cdot 180 \,\,\, |-18 \\
-1,26x^2 + 12,64 x – 18 &= 0 \\
\Rightarrow GTR: \, x_1 = 8,31 \,\, & \, \, x_2 = 1,72 \end{align}