2021 Haupttermin B1: Ebene Geometrie

\begin{align} &|\overline{BE}|\text{ mit dem Satz des Pythagoras:}\\
|\overline{BE}|^2 &= |\overline{AB}|^2 + |\overline{AE}|^2 \\
&= 7^2 + 8^2 \,\,\, |\sqrt{} \\
&\Rightarrow |\overline{BE}| = 10,63 cm \\
\\
&\angle AEB \text{ mit dem Tangens:}\\
tan(\angle AEB) &= \frac{|\overline{AB}|}{|\overline{AE}|} \\
&= \frac{7}{8} \,\,\, |tan^{-1}\\
&\Rightarrow \angle AEB = 41,19°\end{align}

\begin{align} &\text{ Berechnugn des Flächeninhalts von ABE:}\\
A_{ABE} &= \frac{1}{2} \cdot |\overline{AB}| \cdot |\overline{AE}| \\
&= \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 8 \\
&\Rightarrow A_{ABE} = 28 cm^2 \\
\\
&\angle BEC \text{ über } \angle CED \text{ mit dem umgestellten Coisnussatz:}\\
cos(\angle CED) &= \frac{|\overline{ED}|^2 + |\overline{EC}|^2 – |\overline{CD}|^2}{2 \cdot |\overline{EC}| \cdot |\overline{ED}|} \\
&= \frac{4^2 + 11^2 – 9^2}{2 \cdot 11 \cdot 4} \,\,\, |cos^{-1} \\
&\Rightarrow \angle CED = 50,48° \\
\\
\angle BEC &= 128° – 41,19° – 50,48° = 36,33° \\
\\
&\text{ Berechnung des Flächeninhalts von BCE:}\\
A_{BCE} &= \frac{1}{2} \cdot |\overline{EB}| \cdot |\overline{EC}| \cdot sin(\angle BEC)\\
&= \frac{1}{2} \cdot 10,63 \cdot 11 \cdot sin(36,33°)\\
&\Rightarrow A_{BCE} = 34,64 cm^2 \\
\\
&\text{Berechnung des gesuchten Flächeninhalts:}\\
A_{ABCE} &= A_{ABE} + A_{BCE} \\
&= 28 + 34,64 \\
&\Rightarrow A_{ABCE}= 62,64 cm^2 \end{align}

\begin{align} &|\overline{BC}| \text{ mit dem Cosinussatz:}\\
|\overline{BC}|^2 &= |\overline{EB}|^2 + |\overline{EC}|^2 – 2 \cdot |\overline{EB}| \cdot |\overline{EC}| \cdot cos(\angle BEC) \\
&= 10,63^2 + 11^2 – 2 \cdot 10,63 \cdot 11 \cdot cos(36,33°) \,\,\, |\sqrt{} \\
&\Rightarrow |\overline{BC}| = 6,75 cm \\
\\
&\angle ECB \text{ mit dem umgeformten Cosinussatz:}\\
cos(\angle ECB) &= \frac{ |\overline{EC}|^2 + |\overline{BC}|^2 – |\overline{EB}|^2}{2 \cdot |\overline{EC}| \cdot |\overline{BC}|} \\
&= \frac{11^2 + 6,75^2 – 10,63^2}{2 \cdot 11 \cdot 6,75} \,\,\, |cos^{-1}\\
&\Rightarrow \angle ECB = 68,86° \end{align}

Das Ergebnis stimmt wegen Rundungsfehlern nicht mit dem Ersatzergebnis überein, stimmt aber trotzdem.

Die Zeichnung findest du in B1.1

In dieser Lösung wird der Flächeninhalt berechnet, indem man vom Dreieck CBE das Dreieck EGF abzieht. Eine andere Möglichkeit ist, dass man die Höhe des Trapezes über den Winkel bei C bestimmt und dann mit der Trapez-Flächenformel arbeitet.

\begin{align} &|\overline{EG}| \text{ mit dem Vierstreckensatz:}\\
\frac{|\overline{EG}|}{|\overline{EB}|} &= \frac{|\overline{EF}|}{|\overline{EC}|} \,\,\, |\cdot |\overline{EB}| \\
|\overline{EG}| &= \frac{8 \cdot 10,63}{11} \\
&\Rightarrow |\overline{EG}| = 7,73 cm \\
\\
&\text{ Berechnung des Flächeninhalts von EGF:}\\
A_{EGF} &= \frac{1}{2} \cdot |\overline{EF}| \cdot |\overline{EG}| \cdot sin(\angle BEC)\\
&= \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 7,73 \cdot sin(36,33°)\\
&\Rightarrow A_{EGF} = 18,32 cm^2 \\
\\
&\text{ Berechnung des Flächeninhalts von BCFG:}\\
A_{BCFG} &= A_{BCE} – A_{EGF} \\
&= 34,64 – 18,32 \\
&\Rightarrow A_{BCFG} = 16,32 cm^2 \end{align}

Die Zeichnung findest du in B1.1

\begin{align} &|\overline{AR}| \text{ mit dem Sinus:}\\
sin(\angle AER) &= \frac{|\overline{AR}|}{|\overline{AE}|} \,\,\, |\cdot |\overline{AE}| \\
\overline{AR} &= sin(41,19°) \cdot 8 \\
&\Rightarrow |\overline{AR}|= 5,27 cm \\
\\
&\text{ Berechnung des Flächeninhalts des Sektors:}\\
A &= \frac{\angle BAE}{360^°} \cdot |\overline{AR}|^2 \cdot \pi \\
&= \frac{90°}{360°} \cdot 5,27^2 \cdot \pi \\
&\Rightarrow A = 21,81 cm^2 \end{align}