2021 Haupttermin A3: Rotationskörper

\begin{align} &\text{Ansatz zur Lösung:}\\
V &= V_{Zylinder} – V_{Kegelstumpf}\\
\\
&V_{Zylinder} \text{ über die Volumenformel:}\\
V_{Zylinder} &= |\overline{FK}|^2 \cdot \pi \cdot |\overline{AF}| \\
&= 2,5^2 \cdot \pi \cdot 4 \\
&\Rightarrow V_{Zylinder} = 78,54 cm^3 \\
\\
&|\overline{GK}| \text{ mit dem Tangens:}\\
tan(\angle GFK) &= \frac{|\overline{GK}|}{|\overline{FK}|} \\
tan(50°) &= \frac{|\overline{GK}|}{2,5} \,\,\, |\cdot 2,5\\
&\Rightarrow |\overline{GK}| = 2,98 cm \\
\\
&V_{Kegel} \text{ mit der Kegelformel:}\\
V_{Kegel} &= \frac{1}{3} |\overline{FK}|^2 \cdot \pi \cdot |\overline{GK}|\\
&=\frac{1}{3} \cdot 2,5^2 \cdot \pi \cdot 2,98 \\
&\Rightarrow V_{Kegel} = 19,50 cm^3 \\
\\
&|\overline{GH}| \text{ über den Tangens:}\\
tan(\angle GEH) &= \frac{|\overline{GH}|}{|\overline{EH}|} \\
tan(50°) &= \frac{|\overline{GH}|}{1,2} \,\,\, |\cdot 1,2\\
&\Rightarrow |\overline{GH}| = 1,43 cm\\
\\
&V_{Kleiner Kegel} \text{ mit der Kegelformel:}\\
V_{KK} &= \frac{1}{3} \cdot |\overline{EH}|^2 \cdot \pi \cdot |\overline{GH}| \\
&= \frac{1}{3} \cdot 1,2^2 \cdot \pi \cdot 1,43 \\
&\Rightarrow V_{KK} = 2,16cm^3 \\
\\
V_{Kegelstumpf} &= V_{Kegel} – V_{KK} \\
&= 19,50cm^3 – 2,16cm^3 \\
&\Rightarrow V_{Kegelstumpf} = 17,34 cm^3 \\
\\
&\text{Einsetzen in den Ansatz:}\\
V &= V_{Zylinder} – V_{Kegelstumpf}\\
&= 78,54 – 17,34 \\
&\Rightarrow V = 61,20 cm^3 \end{align}