2020 Nachtermin A3: Rotationskörper

Du setzt mit der Volumenformel des Kegels an und löst nach \( \overline{AE} \) auf.

\begin{align} V_{Kegel} &=\frac{1}{3} \cdot r^2 \cdot \pi \cdot \overline{AE} \, \, | \cdot \frac{3}{r^2 \cdot \pi} \\ \overline{AE} &= V_{Kegel} \cdot \frac{3} {r^2 \cdot \pi} \, \, \, (r = \overline{DE})\\ &= 134 \cdot \frac{3}{4^2 \cdot \pi} \\ \Rightarrow &\overline{AE} = 8,00 cm \end{align}

Die Figur setzt sich aus dem Kegel mit Dreieck ADE und dem Kegel mit Dreieck ABF zusammen. Addiert man einfach nur diese beiden Volumina, zählt man das Volumen des Kegels mit Dreieck ACF doppelt. Deshalb müssen wir das Volumen dieses Kegels mit Dreieck ACF einmal abziehen.

\( Ziel: V = V_{ADE} + V_{ABF} – V_{ACF} \)

Um das Volumen \(V_{ACF} \) zu bestimmen, benötigst du die Strecke \( \overline{CF} \). Weil die beiden Radien parallel sind, kannst du mit dem Vierstreckensatz ansetzen.

\begin{align} \overline{AF} &= 0,75 \cdot \overline{AE} = 6,00 cm \\ \\ \frac{\overline{CF}}{\overline{DE}} &= \frac{\overline{AF}} {\overline{AE}} \\ \\ \frac{\overline{CF}}{4} &= \frac{6}{8} \, \, | \cdot 4 \\ \Rightarrow & \overline{CF} = \frac{6}{8} \cdot 4 = 3 cm \\ \\ &Berechnung \, von \, V_{ACF}: \\ V_{ACF} &= \frac{1}{3} \cdot \overline{CF}^2 \cdot \pi \cdot \overline{AF} \\ &= \frac{1}{3} \cdot 3^2 \cdot \pi \cdot 6 \\ \Rightarrow & V_{ACF} = 56,55 cm^3 \\
\\
& Berechnung \, von \, V_{ABF} \\
V_{ABF}& = \frac{1}{3} \cdot \overline{BF}^2 \cdot \pi \cdot \overline{AF} \\
&= \frac{1}{3} \cdot 8^2 \cdot \pi \cdot 6 \\
\Rightarrow &V_{ABF} = 402,12 cm^3 \\
\\
&Berechnung \, von \, V : \\
V &= V_{ADE} + V_{ABF} – V_{ACD} \\
&= 134 + 402,12 – 56,55 \\
\Rightarrow & V = 479,57 cm^3 \end{align}