Lösung zu 3.1
Heute benutzen wir die Formel für das Volumen, um eine Gleichung aufzustellen, um diese nach der Höhe umzustellen.
Du setzt mit der Volumenformel des Kegels an und löst nach \( |\overline{AE}| \) auf.
\begin{align} V_{Kegel} &=\frac{1}{3} \cdot r^2 \cdot \pi \cdot |\overline{AE}| \, \, \cdot \frac{3}{r^2 \cdot \pi} \\ |\overline{AE}| &= V_{Kegel} \cdot \frac{3} {r^2 \cdot \pi} \, \, \, (r = |\overline{DE}|)\\ &= 134 \cdot \frac{3}{4^2 \cdot \pi} \\ \Rightarrow &|\overline{AE}| = 8,00 cm \end{align}
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Lösung zu 3.2
Die Figur setzt sich aus dem Kegel mit Dreieck ADE und dem Kegel mit Dreieck ABF zusammen. Addiert man einfach nur diese beiden Volumina, zählt man das Volumen des Kegels mit Dreieck ACF doppelt. Deshalb müssen wir das Volumen dieses Kegels mit Dreieck ACF einmal abziehen.
Um das Volumen \(V_{ACF} \) zu bestimmen, benötigst du die Strecke \( \overline{CF} \). Weil die beiden Radien parallel sind, kannst du mit dem Vierstreckensatz ansetzen.
\begin{align} \overline{AF} &= 0,75 \cdot \overline{AE} = 6,00 cm \\
\\
\frac{|\overline{CF}|}{|\overline{DE}|} &= \frac{|\overline{AF}|} {|\overline{AE}|} \\
\\
\frac{|\overline{CF}|}{4} &= \frac{6}{8} \, \, | \cdot 4 \\
\Rightarrow & |\overline{CF}| = \frac{6}{8} \cdot 4 = 3 cm \\
\\
&Berechnung \, von \, V_{ACF}: \\
V_{ACF} &= \frac{1}{3} \cdot |\overline{CF}|^2 \cdot \pi \cdot |\overline{AF}| \\
&= \frac{1}{3} \cdot 3^2 \cdot \pi \cdot 6 \\
\Rightarrow & V_{ACF} = 56,55 cm^3 \\
\\
& Berechnung \, von \, V_{ABF} \\
V_{ABF}& = \frac{1}{3} \cdot |\overline{BF}|^2 \cdot \pi \cdot |\overline{AF}| \\
&= \frac{1}{3} \cdot 8^2 \cdot \pi \cdot 6 \\
\Rightarrow &V_{ABF} = 402,12 cm^3 \\
\\
&Berechnung \, von \, V : \\
V &= V_{ADE} + V_{ABF} – V_{ACF} \\
&= 134 + 402,12 – 56,55 \\
\Rightarrow & V = 479,57 cm^3 \end{align}
Bei der 3.2 sollte da am ende “- VACF” statt “-VACD” stehen, oder?
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