2020 Nachtermin A3: Rotationskörper

Du setzt mit der Volumenformel des Kegels an und löst nach \( |\overline{AE}| \) auf.

\begin{align} V_{Kegel} &=\frac{1}{3} \cdot r^2 \cdot \pi \cdot |\overline{AE}| \, \, \cdot \frac{3}{r^2 \cdot \pi} \\ |\overline{AE}| &= V_{Kegel} \cdot \frac{3} {r^2 \cdot \pi} \, \, \, (r = |\overline{DE}|)\\ &= 134 \cdot \frac{3}{4^2 \cdot \pi} \\ \Rightarrow &|\overline{AE}| = 8,00 cm \end{align}

Um das Volumen \(V_{ACF} \) zu bestimmen, benötigst du die Strecke \( \overline{CF} \). Weil die beiden Radien parallel sind, kannst du mit dem Vierstreckensatz ansetzen.

\begin{align} \overline{AF} &= 0,75 \cdot \overline{AE} = 6,00 cm \\
\\
\frac{|\overline{CF}|}{|\overline{DE}|} &= \frac{|\overline{AF}|} {|\overline{AE}|} \\
\\
\frac{|\overline{CF}|}{4} &= \frac{6}{8} \, \, | \cdot 4 \\
\Rightarrow & |\overline{CF}| = \frac{6}{8} \cdot 4 = 3 cm \\
\\
&Berechnung \, von \, V_{ACF}: \\
V_{ACF} &= \frac{1}{3} \cdot |\overline{CF}|^2 \cdot \pi \cdot |\overline{AF}| \\
&= \frac{1}{3} \cdot 3^2 \cdot \pi \cdot 6 \\
\Rightarrow & V_{ACF} = 56,55 cm^3 \\
\\
& Berechnung \, von \, V_{ABF} \\
V_{ABF}& = \frac{1}{3} \cdot |\overline{BF}|^2 \cdot \pi \cdot |\overline{AF}| \\
&= \frac{1}{3} \cdot 8^2 \cdot \pi \cdot 6 \\
\Rightarrow &V_{ABF} = 402,12 cm^3 \\
\\
&Berechnung \, von \, V : \\
V &= V_{ADE} + V_{ABF} – V_{ACF} \\
&= 134 + 402,12 – 56,55 \\
\Rightarrow & V = 479,57 cm^3 \end{align}