2020 Nachtermin A2: Quadratische Funktionen

Der Scheitelpunkt S(2|-3) ist gegeben, also wählst du den Ansatz mit dem der Scheitelformel:

\begin{align} y &= a \cdot (x – x_s) ^2 + y_s \\ \\ & mit \, a = 0,4 \\ &S(2|-3) \Rightarrow x_s = 2 \, ; \, y_s = -3 \\ \\ y &= 0,4 \cdot (x – 2)^2 – 3 \\ &= 0,4 \cdot (x^2 -4x + 4) – 3 \\ &= 0,4x^2 -1,6x +1,6 – 3 \\ \Rightarrow &y = 0,4x^2 – 1,6x + 1,4 \end{align}

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Um den Flächeninhalt der Raute zu bestimmen, musst du die Länge der Diagonalen AC und BD bestimmen. Aus der Angabe weißt du, dass BD immer die Länge 4 hat. Die Punkte A und C haben die selben Abszisse, also kannst du den Ansatz “oben – unten” wählen:

\begin{align} &Berechnung \, von \, \overline{AC}: \\ \overline{AC} &= y_{Gerade} – y_{Parabel} \\ &= -0,3x + 4 – (0,4x^2 – 1,6x – 1,4) \\ &= -0,4x^2 + 1,3x + 5,4 \\ \\ &Berechnung \, des \, Flächeninhalts: \\ A_{Raute} &= 0,5 \cdot \overline{AC} \cdot \overline{BD} \\ &= 0,5 \cdot (-0,4x^2 + 1,3x + 5,4) \cdot 4 \\ \Rightarrow &A_{Raute} = (-0,8x^2 + 2,6x +10,8) FE \\ \\ &Berechnung \, des \, Extremwerts \, mit \, dem \, GTR: \\ \Rightarrow &A_{max} = 12,91 FE \end{align}

Weil der größte mögliche Flächeninhalt 12,91 FE kleiner als 15 FE ist, kann es keine Raute mit 15 FE geben.

Das Quadrat hat die besondere Eigenschaft, dass die Diagonalen gleich lang sind. Über diese Eigenschaft kannst du eine Gleichung aufstellen und die quadratische Gleichung mit dem GTR lösen.

\begin{align} \overline{AC} &= \overline{BD} \\ -0,4x^2 + 1,3x + 5,4 & = 4 \, \, \, |-4 \\ -0,4x^2 +1,3x +1,4 &= 0 \\ &Löse \, mit \, dem \, GTR \\ \Rightarrow &x_1 = -0,85 \lor x_2 = 4,1 \end{align}

Die Diagonale BD ist 4 LE lang, also ist die x-Koordinate von B um 2 größer als die von A und C. Um auf die x-Koordinate von B zu schließen, addierst du einfach 2.

\( x_{B_1} = -0,85 + 2 = 1,15 \, ; \, x_{B_2} = 4,1 + 2 = 6,1 \)