2020 Nachtermin A1: Ebene Geometrie

\begin{align} & \overline{AC} \, mit \, dem \, Cosinus: \\ cos(\angle BAC) &= \frac{\overline{AB}}{\overline{AC}} \, \, \, | \cdot \overline{AC} : cos(\angle BAC) \\ \overline{AC} &= \frac{\overline{AB}}{cos(\angle BAC)} = \frac{9}{cos(34°)} \\ \Rightarrow \overline{AC} &= 10,86 cm \end{align}

Weil im Dreieck \( AMP_1 \) nur eine Streckenlänge gegeben ist, muss du mit dem Sinus-Satz arbeiten. Dazu benötigst du die beiden fehlenden Winkel im Dreieck.

\begin{align} \angle P_1 MA &= 180° – \angle BMP_1 = 180° – 70° \\ &= 110° \\ \angle AP_1 M &= 180° – \angle BAC – \angle P_1 MA = 180° – 34° – 110° \\ &= 36° \\ \\ &\overline{AP_1} \, mit \, dem \, Sinus-Satz: \\ \frac{\overline{AP_1}}{sin(\angle P_1 MA)} &= \frac{\overline{AM}}{sin(\angle AP_1 M)} \\ \frac{\overline{AP_1}}{sin(110°)} &= \frac{0,5 \cdot 9}{sin(36°)} \, \, \, |\, \cdot sin(110°) \\ \overline{AP_1} &= \frac{4,5 \cdot sin(110°)}{sin(36°)} =7,19 cm\end{align}

Die gesuchten Winkel \(\angle BMP_n \) und \(\angle MP_N C \) sind beide im Viereck BCPM. Du bestimmt zuerst den Winkel ACB, um dann mit der Innenwinkelsumme im Viereck anzusetzen.

\begin{align} &\angle ACB \, mit \, der \, Innenwinkelsumme \, im \, Dreieck \\ 180° &= \angle ABC + + \angle ACB + \angle CBA \\ \angle ACB &= 180° – 90° – 34° = 56° \\ \\ &Ansatz \, über \, die \, Innenwinkelsumme \, im \, Viereck: \\ 360° &= \angle BMP_n + \angle MP_n C + \angle CBA + \angle ACB \\ 360° &= \angle BMP_n + \angle MP_n C +  56° + 90° | – 56° -90° \\ 214° &= \angle BMP_n + \angle MP_n C \end{align}