2020 Haupttermin B2: Ebene Geometrie

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\( \begin{align} \angle ADE &= 90° \, (gegeben) \\ \angle DAE &= 45° \, weil \, \angle BAE = 90° \, und \, \angle BAD = 45° \\ \Rightarrow \angle EDA &= 45° \, (\text{Winkelsumme} \triangle ADE) \\ \Rightarrow 90° + 45° & = 135° \\ \triangle & ADE \, ist \,\text{ rechtwinklig-gleichschenklig} \\ \Rightarrow \overline{AE} &= \overline{ED} \\ Sin(45°) &= \frac{\overline{ED}}{11} |\cdot 11 \\ \Rightarrow \overline{ED} &= 7,78 cm \end{align} \)

\( \begin{align} &\overline{BC} \text{ mit dem Tangens:} \\ tan(0,5 \cdot \angle BAD) &= \frac{\overline{BC}}{\overline{AB}} \\ tan(22,5°) &= \frac{\overline{BC}}{11} |\cdot 11 \, \, \, \Rightarrow \overline{BC}= 4,56 cm \\ Fläche_{Drache}: A_1 &= 2 \cdot A_{ABC} \\ &= 2 \cdot (0,5 \cdot \overline{AB} \cdot \overline{BC}) \\ &= 2 \cdot (0,5 \cdot 11 \cdot 4,56) = 50,16cm^2 \\ \\ Fläche \triangle ADE: A_2 &= 0,5 \cdot \overline{AE}\cdot \overline{ED} \\ &= 0,5 \cdot 7,78 \cdot 7,78 = 30,26 cm^2 \\ Fünfeck: A_1 + A_2 &= 80,42cm^2 \\ \\ &\text{Berechnung von } p: \\ 80,42 cm^2 & \Rightarrow 100 \% \\ 50,16 cm^2 & \Rightarrow x \% \\ \\ \Rightarrow \frac{50,16 \cdot 100}{80,42} &= 62,37 \% \end{align} \)

\begin{align} \triangle & AR_2 E \text{ ist gleischschenklig} \Rightarrow \angle ER_2 A = 67,5° \\
\triangle & AR_2 E: 180° – 2 \cdot 67,5° = 45° \\
& \text{ Begründung über Ähnlichkeit  auch möglich} \\
sin(45°) &= \frac{\overline{S_2 R_2}}{\overline{ER_2}} \\
sin(45°) &= \frac{\overline{R_2 S_2}}{7,78} \, \, | \cdot 7,78 \\
\overline{R_2 S_2} &= 5,50cm \end{align}

\begin{align} b &= \frac{\alpha}{360°} \cdot 2 \cdot r \cdot \pi \\
3 &= \frac{\alpha}{360°} \cdot 2 \cdot 7,78 \cdot \pi \\
\alpha &= 22,09° \\
sin(22,09°) &= \frac{\overline{ES_3}}{7,78} \,\, | \cdot 7,78 \\
\overline{ES_3} & = 2,93 cm \\
\Rightarrow x &= 2,93 \end{align}