2020 Haupttermin B2: Ebene Geometrie

Wenn du noch zwei Strecken, aber keinen Winkel mehr hast, verwende deinen Zirkel.

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Arbeite sauber und begründe jeden Schritt. Was weißt du über Winkel, wenn \( |\overline{AE}| =|\overline{ED}| \) gilt?

\( \begin{align} \angle ADC &= 90° \, (gegeben) \\
\angle DAE &= 45° \, weil \, \angle BAE = 90° \, und \, \angle BAD = 45° \\
\Rightarrow \angle EDA &= 45° \, (\text{Winkelsumme} \triangle ADE) \\
\Rightarrow 90° + 45° & = 135° \\ \triangle & ADE \, ist \,\text{ rechtwinklig-gleichschenklig} \\
\Rightarrow |\overline{AE}| &= |\overline{ED}| \\
Sin(45°) &= \frac{|\overline{ED}|}{11} |\cdot 11 \\ \Rightarrow |\overline{ED}| &= 7,78 cm \end{align} \)

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Flächenformeln in der Formelsammlung nachschauen und einsetzen. Danach den Anteil vom Ganzen bestimmen und mal 100 rechnen.

\( \begin{align} &|\overline{BC}| \text{ mit dem Tangens:} \\
tan(0,5 \cdot \angle BAD) &= \frac{|\overline{BC}|}{|\overline{AB}|} \\
tan(22,5°) &= \frac{|\overline{BC}|}{11} |\cdot 11 \, \, \, \Rightarrow |\overline{BC}|= 4,56 cm \\
Fläche_{Drache}: A_1 &= 2 \cdot A_{ABC} \\ &= 2 \cdot (0,5 \cdot |\overline{AB}| \cdot |\overline{BC}|) \\
&= 2 \cdot (0,5 \cdot 11 \cdot 4,56) = 50,16cm^2 \\
\\ Fläche \triangle ADE: A_2 &= 0,5 \cdot |\overline{AE}|\cdot |\overline{ED}| \\
&= 0,5 \cdot 7,78 \cdot 7,78 = 30,26 cm^2 \\ Fünfeck: A_1 + A_2 &= 80,42cm^2 \\
\\ &\text{Berechnung von } p: \\
80,42 cm^2 & \Rightarrow 100 \% \\
50,16 cm^2 & \Rightarrow x \% \\
\\
\Rightarrow \frac{50,16 \cdot 100}{80,42} &= 62,37 \% \end{align} \)

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Fang von hinten das lesen an. x = 2! Mit dieser Info ist schon vieles leichter.

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An welchen Stellen ist überall der Radius des Kreises? Was wissen wir über ein Dreieck, wenn es zwei gleichlange Seiten hat?

\begin{align} \angle ER_2 A &= \angle DAE + \angle CAD = 45° + 22,5° \text{Symmetrie im Drachen beachten!}\\
\Rightarrow \angle ER_2 A &= 67,5° \\
\triangle & AR_2 E \text{ ist gleischschenklig} \Rightarrow \angle ER_2 A = \angle R_2AE = 67,5° \\
\triangle & AER_2: 180° – 2 \cdot 67,5° = 45° \\
& \text{ Begründung über Ähnlichkeit  auch möglich} \\
sin(45°) &= \frac{|\overline{S_2 R_2}|}{|\overline{ER_2}|} \\
sin(45°) &= \frac{|\overline{R_2 S_2}|}{7,78} \, \, | \cdot 7,78 \\
|\overline{R_2 S_2}| &= 5,50cm \end{align}

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Setze in die Formel für die Bogenlänge alles ein, was du kennst. Es bleibt eine Gleichung mit einem x als unbekannte.

\begin{align} b &= \frac{\alpha}{360°} \cdot 2 \cdot r \cdot \pi \\
3 &= \frac{\alpha}{360°} \cdot 2 \cdot 7,78 \cdot \pi \\
\alpha &= 22,09° \\
sin(22,09°) &= \frac{|\overline{ES_3}|}{7,78} \,\, | \cdot 7,78 \\
|\overline{ES_3}| & = 2,93 cm \\
\Rightarrow x &= 2,93 \end{align}

3 Kommentare zu „2020 Haupttermin B2: Ebene Geometrie“

    1. Hallo Selina,
      alles was zum richtigen Ergebnis führt, ist (meistens) auch richtig. In den Lösung steht ja, dass da auch was über Ähnlichkeit möglich ist, das deutet ja auch in Richtung VSS. Hast du das richtige Ergebnis raus?
      Gerne wieder fragen =)
      Tobias Cobanov

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