2020 Haupttermin B2: Ebene Geometrie

\( \begin{align} \angle ADC &= 90° \, (gegeben) \\
\angle DAE &= 45° \, weil \, \angle BAE = 90° \, und \, \angle BAD = 45° \\
\Rightarrow \angle EDA &= 45° \, (\text{Winkelsumme} \triangle ADE) \\
\Rightarrow 90° + 45° & = 135° \\ \triangle & ADE \, ist \,\text{ rechtwinklig-gleichschenklig} \\
\Rightarrow |\overline{AE}| &= |\overline{ED}| \\
Sin(45°) &= \frac{|\overline{ED}|}{11} |\cdot 11 \\ \Rightarrow |\overline{ED}| &= 7,78 cm \end{align} \)

\( \begin{align} &|\overline{BC}| \text{ mit dem Tangens:} \\
tan(0,5 \cdot \angle BAD) &= \frac{|\overline{BC}|}{|\overline{AB}|} \\
tan(22,5°) &= \frac{|\overline{BC}|}{11} |\cdot 11 \, \, \, \Rightarrow |\overline{BC}|= 4,56 cm \\
Fläche_{Drache}: A_1 &= 2 \cdot A_{ABC} \\ &= 2 \cdot (0,5 \cdot |\overline{AB}| \cdot |\overline{BC}|) \\
&= 2 \cdot (0,5 \cdot 11 \cdot 4,56) = 50,16cm^2 \\
\\ Fläche \triangle ADE: A_2 &= 0,5 \cdot |\overline{AE}|\cdot |\overline{ED}| \\
&= 0,5 \cdot 7,78 \cdot 7,78 = 30,26 cm^2 \\ Fünfeck: A_1 + A_2 &= 80,42cm^2 \\
\\ &\text{Berechnung von } p: \\
80,42 cm^2 & \Rightarrow 100 \% \\
50,16 cm^2 & \Rightarrow x \% \\
\\
\Rightarrow \frac{50,16 \cdot 100}{80,42} &= 62,37 \% \end{align} \)

\begin{align} \angle ER_2 A &= \angle DAE + \angle CAD = 45° + 22,5° \text{Symmetrie im Drachen beachten!}\\
\Rightarrow \angle ER_2 A &= 67,5° \\
\triangle & AR_2 E \text{ ist gleischschenklig} \Rightarrow \angle ER_2 A = \angle R_2AE = 67,5° \\
\triangle & AER_2: 180° – 2 \cdot 67,5° = 45° \\
& \text{ Begründung über Ähnlichkeit  auch möglich} \\
sin(45°) &= \frac{|\overline{S_2 R_2}|}{|\overline{ER_2}|} \\
sin(45°) &= \frac{|\overline{R_2 S_2}|}{7,78} \, \, | \cdot 7,78 \\
|\overline{R_2 S_2}| &= 5,50cm \end{align}

\begin{align} b &= \frac{\alpha}{360°} \cdot 2 \cdot r \cdot \pi \\
3 &= \frac{\alpha}{360°} \cdot 2 \cdot 7,78 \cdot \pi \\
\alpha &= 22,09° \\
sin(22,09°) &= \frac{|\overline{ES_3}|}{7,78} \,\, | \cdot 7,78 \\
|\overline{ES_3}| & = 2,93 cm \\
\Rightarrow x &= 2,93 \end{align}