2020 Haupttermin A2: Raumgeometrie

\begin{align} &\overline{PS} \text{ mit dem Satz des Pythagoras:} \\
\overline{PS}^2 &= \overline{PQ}^2 + \overline{QS}^2 \\
\overline{PS} ^2 & = 4^2 + 8^2 \\ 
\Rightarrow &\overline{PS} = \sqrt{4^2 + 8^2} = 8,94 cm \\
\\
&\overline{FE} \text{ mit dem Vierstreckensatz:} \\
\dfrac{\, \overline{PS} \, }{\overline{SR}} &= \dfrac{\, \overline{AB} \,}{\overline{FE}} \\
&mit \overline{SR} = 8,94 – 3 = 5,94 \\
\dfrac{\, 8,94 \,}{5,94} &= \dfrac{6}{\, \overline{FE} \,} \\
\, 8,94 \cdot \overline{FE} &= 6 \cdot 5,94 \,\, |:8,94 \\
\overline{FE} &=3,99cm \end{align}


Alternativer Lösungsweg:

Zuerst bestimmst du den Winkel PSB im Dreieck SPB. Diesen Winkel kannst du im Dreieck RSF verwenden, um die Länge von [FR] zu bestimmen.

\begin{align} &\angle ABS \text{ mit dem Tangens:} \\
tan(\angle ABS) &= \frac{\overline{BP}}{\overline{PS}} \\
tan(\angle ABS) &= \frac{3}{8,94} \\
\Rightarrow & \angle ABS = 18,55° \\
\\
&x = 0,5 \overline{FE} \text{ mit dem Tangens:} \\
tan(\angle ABS) &= \frac{x}{\overline{SR}} \\
tan(18,55°) &= \frac{x}{5,94} \, | \cdot 5,94 \\
x &= 1,99 \Rightarrow \overline{FE} = 2x = 3,99 cm \end{align}

Zurück zum MAP-Hack:

\( \begin{align} &\angle QPS \text{ mit dem Tangens:} \\
tan(\angle QPS) &= \frac{\overline{SQ}}{\overline{PQ}} \\
tan(\angle QPS) &= \frac{8}{4} \\
\Rightarrow &\angle QPS = 63,43°
\\
\\
&\overline{RQ} \text{mit dem Cosinussatz:} \\
\overline{RQ}^2 &= \overline{PR}^2 + \overline{PQ}^2 – 2 \cdot \overline{RP} \cdot \overline{PQ} \cdot cos(\angle QPS) \\
\overline{RQ}^2 &= 3^2 + 4^2 – 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot cos(63,43°) \\
\Rightarrow \overline{RQ} &= 3,78 cm \\ 
\\
&A \text{ mit der Flächenformel:} \\
A &= 0,5 \cdot (\overline{CD} + \overline{FE}) \cdot \overline{RQ} \\
&= 0,5 \cdot (10 + 3,99) \cdot 3,78 \\
\Rightarrow A& = 26,44 cm² \end{align} \)

Zurück zum MAP-Hack:


\( \begin{align} &\overline{RT} \text{ mit Vierstreckensatz:} \\
\frac{\overline{PS}}{\overline{SR}} &= \frac{\overline{PQ}}{\overline{RT}} \\
\frac{8,94}{5,94} & = \frac{4} {\overline{RT}} \\
\, 8,94 \, \cdot \overline{RT} &= 4 \cdot 5,94 |:8,94 \\
\Rightarrow &\overline{RT} = 2,66 cm \\
\\
& \overline{RT} \text{ mit Trigonometrie: (alternativer Weg)} \\
tan(\angle PSQ) &= \frac{\overline{PQ}}{\overline{QS}} \\
&= \frac{4}{8} \\
\Rightarrow &\angle PSQ = 26,57° \\
sin(\angle PSQ) &= \frac{\overline{RT}}{\overline{SR}}\\ sin(26,57°) &= \frac{\overline{\overline{RT}}}{5,94} | \cdot 5,94 \\
\Rightarrow &\overline{RT} = 2,66 cm \\
\\
&\overline{TS} \text{ mit dem Satz des Pythagoras:} \\
\overline{SR}^2 &= \overline{RT}^2 + \overline{ST}^2 \\
5,94^2 &= 2,66^2 + \overline{ST}^2 |-2,66^2 \\
\Rightarrow \overline{TS} & = 5,31 cm \\
\\
&\text{Berechnung des Volumens:} \\
A_{\triangle EFT} & = \frac{1}{2} \cdot \overline{EF} \cdot \overline{RT} \\
&= \frac{1}{2} \cdot 3,99 \cdot 2,66 = 5,31 cm^2 \\
\\
V &= \frac{1}{3} \cdot 5,31 \cdot 5,31 = 9,40 cm^3 \end{align} \)

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4 Kommentare zu „2020 Haupttermin A2: Raumgeometrie“

  1. Ich habe bei Aufgabe 2.2 einen Fehler entdeckt bei Berechnung des Winkels QPS mit dem tan. haben sie statt QPS mit dem tan RQ mit dem tan geschrieben 🙂

    1. Hallo Alex,
      ich schaue mir 5 Minuten lang die Rechnung an und Frage mich “Was meint er denn?!”. Ja, in der Überschrift. Ouh man, das hätte ich nie gefunden. Danke!

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