2020 Haupttermin A2: Raumgeometrie

\begin{align} &\overline{PS} \text{ mit dem Satz des Pythagoras:} \\
\overline{PS}^2 &= \overline{PQ}^2 + \overline{QS}^2 \\
\overline{PS} ^2 & = 4^2 + 8^2 \\ 
\Rightarrow &\overline{PS} = \sqrt{4^2 + 8^2} = 8,94 cm \\
\\
&\overline{FE} \text{ mit dem Vierstreckensatz:} \\
\dfrac{\, \overline{PS} \, }{\overline{SR}} &= \dfrac{\, \overline{AB} \,}{\overline{FE}} \\
&mit \overline{SR} = 8,94 – 3 = 5,94 \\
\dfrac{\, 8,94 \,}{5,94} &= \dfrac{6}{\, \overline{FE} \,} \\
\, 8,94 \cdot \overline{FE} &= 6 \cdot 5,94 \,\, |:8,94 \\
\overline{FE} &=3,99cm \end{align}


Alternativer Lösungsweg:

Zuerst bestimmst du den Winkel PSB im Dreieck SPB. Diesen Winkel kannst du im Dreieck RSF verwenden, um die Länge von [FR] zu bestimmen.

\begin{align} &\angle ABS \text{ mit dem Tangens:} \\
tan(\angle ABS) &= \frac{\overline{BP}}{\overline{PS}} \\
tan(\angle ABS) &= \frac{3}{8,94} \\
\Rightarrow & \angle ABS = 18,55° \\
\\
&x = 0,5 \overline{FE} \text{ mit dem Tangens:} \\
tan(\angle ABS) &= \frac{x}{\overline{SR}} \\
tan(18,55°) &= \frac{x}{5,94} \, | \cdot 5,94 \\
x &= 1,99 \Rightarrow \overline{FE} = 2x = 3,99 cm \end{align}

Zurück zum MAP-Hack:

\( \begin{align} &\angle QPS \text{ mit dem Tangens:} \\
tan(\angle QPS) &= \frac{\overline{SQ}}{\overline{PQ}} \\
tan(\angle QPS) &= \frac{8}{4} \\
\Rightarrow &\angle QPS = 63,43°
\\
\\
&\overline{RQ} \text{mit dem Cosinussatz:} \\
\overline{RQ}^2 &= \overline{PR}^2 + \overline{PQ}^2 – 2 \cdot \overline{RP} \cdot \overline{PQ} \cdot cos(\angle QPS) \\
\overline{RQ}^2 &= 3^2 + 4^2 – 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot cos(63,43°) \\
\Rightarrow \overline{RQ} &= 3,78 cm \\ 
\\
&A \text{ mit der Flächenformel:} \\
A &= 0,5 \cdot (\overline{CD} + \overline{FE}) \cdot \overline{RQ} \\
&= 0,5 \cdot (10 + 3,99) \cdot 3,78 \\
\Rightarrow A& = 26,44 cm² \end{align} \)

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\( \begin{align} &\overline{RT} \text{ mit Vierstreckensatz:} \\
\frac{\overline{PS}}{\overline{SR}} &= \frac{\overline{PQ}}{\overline{RT}} \\
\frac{8,94}{5,94} & = \frac{4} {\overline{RT}} \\
\, 8,94 \, \cdot \overline{RT} &= 4 \cdot 5,94 |:8,94 \\
\Rightarrow &\overline{RT} = 2,66 cm \\
\\
& \overline{RT} \text{ mit Trigonometrie: (alternativer Weg)} \\
tan(\angle PSQ) &= \frac{\overline{PQ}}{\overline{QS}} \\
&= \frac{4}{8} \\
\Rightarrow &\angle PSQ = 26,57° \\
sin(\angle PSQ) &= \frac{\overline{RT}}{\overline{SR}}\\ sin(26,57°) &= \frac{\overline{\overline{RT}}}{5,94} | \cdot 5,94 \\
\Rightarrow &\overline{RT} = 2,66 cm \\
\\
&\overline{TS} \text{ mit dem Satz des Pythagoras:} \\
\overline{SR}^2 &= \overline{RT}^2 + \overline{ST}^2 \\
5,94^2 &= 2,66^2 + \overline{ST}^2 |-2,66^2 \\
\Rightarrow \overline{TS} & = 5,31 cm \\
\\
&\text{Berechnung des Volumens:} \\
A_{\triangle EFT} & = \frac{1}{2} \cdot \overline{EF} \cdot \overline{RT} \\
&= \frac{1}{2} \cdot 3,99 \cdot 2,66 = 5,31 cm^2 \\
\\
V &= \frac{1}{3} \cdot 5,31 \cdot 5,31 = 9,40 cm^3 \end{align} \)

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6 Kommentare zu „2020 Haupttermin A2: Raumgeometrie“

  1. Ich habe bei Aufgabe 2.2 einen Fehler entdeckt bei Berechnung des Winkels QPS mit dem tan. haben sie statt QPS mit dem tan RQ mit dem tan geschrieben 🙂

    1. Hallo Alex,
      ich schaue mir 5 Minuten lang die Rechnung an und Frage mich “Was meint er denn?!”. Ja, in der Überschrift. Ouh man, das hätte ich nie gefunden. Danke!

    1. Hey, das Volumen am Ende von 2.3 wurde glaube ich falsch gerundet. In meinem TR steht das Ergebnis 9,3987 und das wäre auf 2 Nachkommastellen gerundet 9,40.

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