2019 Nachtermin A1: Ebene Geometrie

Um die Fläche des Trapezes (\( A_{Trapez} = 0,5 \cdot (a + c) \cdot h \)} zu berechnen, benötigst du die Höhe \( h = \overline{CL} \). Du fällt das Lot von C auf AB, um die Höhe im entstandenen Dreieck zu berechnen. Den Lotfuß nennen wir L. Dafür bestimmst du zuerst den Winkel CBA.

\begin{align} & \angle CBA \, über \, Innenwinkelsumme: \\ 360° &= \angle CBA + \angle BAD + \angle ADC + \angle DCB \\ &= \angle CBA + 90° + 90° + 115° \\ &= \angle CBA + 295° | -295° \\ \Rightarrow &\angle CBA = 65° \\ \\ &\overline{LC} = \overline{AD} \, mit \, Lotfußpunkt \, L : \\ tan(\angle CBA) &= \frac{\overline{CL}}{\overline{BL}} = \frac{\overline{CL}}{\overline{AB}-\overline{CD}} \,\, |\cdot (\overline{AB} – \overline{CD}) \\ \overline{CL} &= tan(\angle CBA) \cdot (\overline{AB} – \overline{CD}) \\ &= tan(65°) \cdot (8,7 – 5,2) = 7,5 cm \\ \\ &Einsetzen \, in \, die \, Flächenformel: \\ A_{Trapez} &= 0,5 (\overline{AB} + \overline{CD}) \cdot \overline{CL} \\ &= 0,5 \cdot (8,7 + 5,2) \cdot 7,5 \\ \Rightarrow &A_{Trapez} = 52,1 cm^2 \end{align}

Falls dir dieser Lösungsweg nicht gefällt, dann zerteile dir das Viereck in ein Rechteck und ein rechtwinkliges Dreieck, indem du eine „Trennlinie“ von C senkrecht nach unten ziehst.

Setze in die Formel für den Kreissektor ein und löse nach r auf. Weil der Radius nicht negativ sein kann, schreibst du nur die positive Lösung auf.

\begin{align} A_{Sektor} &= \frac{\angle CBA}{360°} \cdot r^2 \cdot \pi \\
0,05 \cdot 52,1 & = \frac{65°}{360°} \cdot r^2 \cdot \pi \,\,\, | : \frac{65°}{360°} : \pi \\
r^2 &= 0,05 \cdot 52,1 \cdot \frac{360°}{65° \cdot \pi} \\
\Rightarrow &r= 2,1 cm. \end{align}