2019 Haupttermin Teil B2: Raumgeometrie

\begin{align} & \overline{MS} \, mit \, dem \, Satz \, des \, Pythagoras: \\ \overline{MS}^2 &= \overline{AS} ^2 + \overline{AM}^2 \\ &= 10^2 + 3^2 \\ \Rightarrow & \overline{MS} = 10,44 cm \\ \\ & \varphi \, mit \, dem \, Tangens: \\ tan(\varphi) &= \frac{\overline{AS}}{\overline{AM}} \\ &= \frac{10}{3} \\ \Rightarrow &\varphi = 73,30° \end{align}

Phi kannst du auch mit dem Sinus oder dem Cosinus berechnen.

\begin{align} &\overline{A_1 P_1} \, mit \, dem \, Cosinussatz: \\ \overline{A_1 P_1}^2 &= \overline{A_1 M}^2 + \overline{MP_1}^2 – 2 \cdot \overline{A_1 M} \cdot \overline{MP_1} \cdot cos(\varphi) \\ &= 7,5^2 + 7,44^2 – 2 \cdot 7,5 \cdot 7,44 \cdot cos(73,3°) \\ \Rightarrow &\overline{A_1 P_1} = 8,92 cm \\ \\ &\alpha \, mit \, dem \, Sinussatz: \\ \frac{sin(\alpha)}{\overline{MP_1}} &= \frac{sin(\varphi)}{\overline{A_1 P_1}} \,\,\, |\cdot \overline{MP_1} \\ &= \frac{sin(\varphi)}{\overline{A_1 P_1}} \cdot \overline{M_1 P_1} \\ &= \frac{sin(73,30°)}{8,92} \cdot 7,44 \\ \Rightarrow &\alpha = 53,03° \end{align}

Um das funktionale Volumen zu bestimmen, benötigst du die Höhe [PF] in Abhänigkeit von x:

\begin{align} &\overline{P_n F_n} \, mit \, dem \, Vierstreckensatz: \\ \frac{\overline{P_n F_n}}{\overline{AS}} &= \frac{\overline{MP_n}}{\overline{MS}} \, \, \, |\cdot \overline{AS} \\ \overline{P_n F_n} &= \frac{\overline{MP_n}}{\overline{MS}} \cdot \overline{AS} \\ &= \frac{10,44 -x } {10,44} \cdot 10 \\ \Rightarrow &\overline{P_n F_n} = (10 – 0,96x) cm \\ \\ & Einsetzen \, in \, die \, Volumenformel:  \\ V_{Pyramide} &= \frac{1}{3} \cdot A_g \cdot h \\ &= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot \overline{A_n C} \cdot \overline{BD} \cdot \overline{P_n F_n} \\ &= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot (9+1,5x) \cdot 8 \cdot (10 – 0,96x) \\ &= \frac{1}{6} \cdot (9 + 1,5x) \cdot (80 – 7,68x) \\ &= \frac{1}{6} \cdot (720 – 69,12 x + 120x – 11,52x^2) \\ &= \frac{1}{6} \cdot (-11,52x^2 + 50,88x + 720) \\ \Rightarrow &V_{Pyramide} = (-1,92x^2 + 8,48x + 120) cm^3  \end{align}

\begin{align} &T_{max}\, mit \, dem \, GTR: \\ -1,92x^2 + 8,48 x + 120 & \Rightarrow V_{max} = 129,39 cm^3 \\ \\ &V_{gesamt} \, mit \, der \, Volumenformel: \\ V_{gesamt} &= \frac{1}{3} \cdot A_G \cdot h \\&= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot \overline{AC} \cdot \overline{BD} \cdot \overline{AS} \\ &= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 8 \cdot 10 \\ \Rightarrow &V_{gesamt} = 120 cm^3 \\ \\ &p \, mit \, der \, Prozentformel: \\ p &= \frac{V_{max}}{V_{gesamt}} \cdot 100 \% \\ &= \frac{129,38}{120} \cdot 100 \% \\ \Rightarrow &p = 107,82 \% \end{align}

Das größte Volumen ist um 7,82 % größer.

Du kannst die Aufgabe durch Ausschluss lösen. Der Graph A ist das maximale Volumen bei 120, das darf aber nicht sein. Bei Graph C ist das Volumen für x = 0 nicht 120, sondern ungefähr 110. Auch das darf nicht sein. Es bleibt nur der Graph von B übrig.