2019 Haupttermin Teil A3: Rotationskörper

\begin{align} & \overline{MS} \, mit \, dem \, Tangens: \\ tan(\angle ASM) &= \frac{\overline{AM}}{\overline{MS}} \,\,\, |\cdot \overline{MS} : tan(\angle ASM) \\ \overline{MS} &= \frac{\overline{AM}}{tan(\angle ASM)} \\ &= \frac{21}{tan(16°)} \\ \Rightarrow &\overline{MS} = 73,2 cm \end{align}

DIe Länge der Strecke [HO]kann mit dem Vierstreckensatz berechnet werden. Dazu benötigst du die Länge der Strecke [SO]:

\begin{align} \overline{SO} &= \overline{MS} + \overline{NO} – \overline{MN} \\ &= 73,2 + 5 – 45 \\ \Rightarrow &\overline{SO} = 33,2 cm \\ \\ &\overline{HO} \, mit \, Vierstreckensatz: \\ \frac{\overline{HO}}{\overline{AM}} &= \frac{\overline{SO}}{\overline{MS}} \,\,\, | \cdot \overline{AM} \\ \overline{HO} &= \frac{\overline{AM}\cdot \overline{SO}}{\overline{MS}} \\ &= \frac{21 \cdot 33,2}{73,2} \\ \Rightarrow &\overline{HO} = 9,5 cm \\ \\ \overline{HC} &= 2 \cdot \overline{HO} \\ &= 2 \cdot 9,5 \\ \Rightarrow &\overline{HC} = 19,0 cm \end{align}

Das gesuchte Volumen setzt sich aus den Volumina des Zylinders, des kleinen Kegels und des großen Kegels zusammen. Du berechnest diese Teilvolumina und setzt den gesuchten Körper zusammen.

\begin{align} V_{groß} &= \frac{1}{3} \cdot \overline{AM}^2 \cdot \pi \cdot \overline{MS} \\
&= \frac{1}{3} \cdot 21^2 \cdot \pi \cdot 73,2 \\
\Rightarrow &V_{groß} = 33804,8 cm^3 \\ \\ V_{klein} &= \frac{1}{3} \cdot \overline{HO}^2 \cdot \pi \cdot \overline{SO} \\ &= \frac{1}{3} \cdot (0,5 \cdot \overline{HC}) \cdot \pi \cdot (\overline{MS}- \overline{MN} + \overline{FG} ) \\ &= \frac{1}{3} \cdot (0,5 \cdot 19)^2 \cdot \pi \cdot (73,2 – 45 + 5) \\ \Rightarrow &V_{klein} = 3137,7 cm^3 \\ \\ V_{Zylinder}&= \overline{GO}^2 \cdot \pi \cdot \overline{NO} \\ &= 21^2 \cdot \pi \cdot 5 \\ \Rightarrow &V_{Zylinder} = 6927,2 cm^3 \\ \\ V &= V_{groß} – V_{klein} + V_{Zylinder} \\ &= 33804,8 – 3137,7 + 6927,2 \\ \Rightarrow &V = 37594,3 cm^3 \end{align}