2019 Haupttermin Teil A3: Rotationskörper

AM||GO||FN : Parallelität ist immer ein Hinweis auf den Vierstreckensatz.

\begin{align} & |\overline{MS}| \, mit \, dem \, Tangens: \\
tan(\angle ASM) &= \frac{|\overline{AM}|}{|\overline{MS}|} \,\,\, |\cdot \overline{MS} : tan(\angle ASM) \\
|\overline{MS}|&= \frac{|\overline{AM}|}{tan(\angle ASM)} \\
&= \frac{21}{tan(16°)} \\
\Rightarrow &|\overline{MS}| = 73,2 cm \end{align}

DIe Länge der Strecke [HO]kann mit dem Vierstreckensatz berechnet werden. Dazu benötigst du die Länge der Strecke \(\overline{SO}\):

\begin{align} |\overline{SO}| &= |\overline{MS}| + |\overline{NO}| – |\overline{MN}| \\
&= 73,2 + 5 – 45 \\
\Rightarrow &|\overline{SO}| = 33,2 cm \\
\\
&|\overline{HO}| \, mit \, Vierstreckensatz: \\
\frac{|\overline{HO}|}{|\overline{AM}|} &= \frac{|\overline{SO}|}{|\overline{MS}|} \,\,\, | \cdot |\overline{AM}| \\
|\overline{HO}| &= \frac{|\overline{AM}| \cdot |\overline{SO}|}{|\overline{MS}|} \\
&= \frac{21 \cdot 33,2}{73,2} \\
\Rightarrow &|\overline{HO}| = 9,5 cm \\
\\
|\overline{HC}| &= 2 \cdot |\overline{HO}| \\
&= 2 \cdot 9,5 \\
\Rightarrow &|\overline{HC}| = 19,0 cm \end{align}

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Der Körper besteht aus einem Zylinder und einem Kegelstumpf. Achte auf die passenden Höhen!

Das gesuchte Volumen setzt sich aus den Volumina des Zylinders, des kleinen Kegels und des großen Kegels zusammen. Du berechnest diese Teilvolumina und setzt den gesuchten Körper zusammen.

\begin{align} V_{groß} &= \frac{1}{3} \cdot |\overline{AM}|^2 \cdot \pi \cdot |\overline{MS}| \\
&= \frac{1}{3} \cdot 21^2 \cdot \pi \cdot 73,2 \\
\Rightarrow &V_{groß} = 33804,8 cm^3 \\
\\
V_{klein} &= \frac{1}{3} \cdot |\overline{HO}|^2 \cdot \pi \cdot |\overline{SO}| \\
&= \frac{1}{3} \cdot (0,5 \cdot |\overline{HC}|) \cdot \pi \cdot (|\overline{MS}|- |\overline{MN}| + |\overline{FG}| ) \\
&= \frac{1}{3} \cdot (0,5 \cdot 19)^2 \cdot \pi \cdot (73,2 – 45 + 5) \\
\Rightarrow &V_{klein} = 3137,7 cm^3 \\
\\
V_{Zylinder}&= |\overline{GO}|^2 \cdot \pi \cdot |\overline{NO}| \\
&= 21^2 \cdot \pi \cdot 5 \\
\Rightarrow &V_{Zylinder} = 6927,2 cm^3 \\
\\
V &= V_{groß} – V_{klein} + V_{Zylinder} \\
&= 33804,8 – 3137,7 + 6927,2 \\
\Rightarrow &V = 37594,3 cm^3 \end{align}

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1 Kommentar zu „2019 Haupttermin Teil A3: Rotationskörper“

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