2019 Haupttermin Teil A3: Rotationskörper

\begin{align} & |\overline{MS}| \, mit \, dem \, Tangens: \\
tan(\angle ASM) &= \frac{|\overline{AM}|}{|\overline{MS}|} \,\,\, |\cdot \overline{MS} : tan(\angle ASM) \\
|\overline{MS}|&= \frac{|\overline{AM}|}{tan(\angle ASM)} \\
&= \frac{21}{tan(16°)} \\
\Rightarrow &|\overline{MS}| = 73,2 cm \end{align}

DIe Länge der Strecke [HO]kann mit dem Vierstreckensatz berechnet werden. Dazu benötigst du die Länge der Strecke \(\overline{SO}\):

\begin{align} |\overline{SO}| &= |\overline{MS}| + |\overline{NO}| – |\overline{MN}| \\
&= 73,2 + 5 – 45 \\
\Rightarrow &|\overline{SO}| = 33,2 cm \\
\\
&|\overline{HO}| \, mit \, Vierstreckensatz: \\
\frac{|\overline{HO}|}{|\overline{AM}|} &= \frac{|\overline{SO}|}{|\overline{MS}|} \,\,\, | \cdot |\overline{AM}| \\
|\overline{HO}| &= \frac{|\overline{AM}| \cdot |\overline{SO}|}{|\overline{MS}|} \\
&= \frac{21 \cdot 33,2}{73,2} \\
\Rightarrow &|\overline{HO}| = 9,5 cm \\
\\
|\overline{HC}| &= 2 \cdot |\overline{HO}| \\
&= 2 \cdot 9,5 \\
\Rightarrow &|\overline{HC}| = 19,0 cm \end{align}

Das gesuchte Volumen setzt sich aus den Volumina des Zylinders, des kleinen Kegels und des großen Kegels zusammen. Du berechnest diese Teilvolumina und setzt den gesuchten Körper zusammen.

\begin{align} V_{groß} &= \frac{1}{3} \cdot |\overline{AM}|^2 \cdot \pi \cdot |\overline{MS}| \\
&= \frac{1}{3} \cdot 21^2 \cdot \pi \cdot 73,2 \\
\Rightarrow &V_{groß} = 33804,8 cm^3 \\
\\
V_{klein} &= \frac{1}{3} \cdot |\overline{HO}|^2 \cdot \pi \cdot |\overline{SO}| \\
&= \frac{1}{3} \cdot (0,5 \cdot |\overline{HC}|) \cdot \pi \cdot (|\overline{MS}|- |\overline{MN}| + |\overline{FG}| ) \\
&= \frac{1}{3} \cdot (0,5 \cdot 19)^2 \cdot \pi \cdot (73,2 – 45 + 5) \\
\Rightarrow &V_{klein} = 3137,7 cm^3 \\
\\
V_{Zylinder}&= |\overline{GO}|^2 \cdot \pi \cdot |\overline{NO}| \\
&= 21^2 \cdot \pi \cdot 5 \\
\Rightarrow &V_{Zylinder} = 6927,2 cm^3 \\
\\
V &= V_{groß} – V_{klein} + V_{Zylinder} \\
&= 33804,8 – 3137,7 + 6927,2 \\
\Rightarrow &V = 37594,3 cm^3 \end{align}