2018 Haupttermin B2: Raumgeometrie

\( \begin{align} & \overline{ME} \, mit \, dem \, Satz \, des \, Pythagoras: \\ \overline{ME}^2 & = \overline{AM}^2 + \overline{AE}^2 \\ \overline{ME}^2 &= 5^2 + 10^2 \\ \Rightarrow & \overline{ME} = 11,18 cm \\ \\ & \varphi \, im \, Dreieck \, EMN: \\ tan( \varphi ) & = \frac{\overline{MN}}{\overline{NE}} \\ &= \frac{10}{5} \\ \Rightarrow \varphi &= 63,43° \end{align} \)

\( \begin{align} &A_{Dreieck} \, mit \, der \, Sinus-Formel:  \\ A_{S_1 GE} &= 0,5 \cdot \overline{ES_1} \cdot \overline{GE} \cdot sin (\varphi) \\ &= 0,5 \cdot 3 \cdot 10 \cdot sin(63,43°) \\ \Rightarrow &A_{S_1 GE} = 13,42 cm² \\ \\ & \overline{S_1 G} \, mit \, dem \, Cosinus-Satz: \\ \overline{S_1 G}^2 &= \overline{ES_1}^2 + \overline{GE}^2 – 2 \cdot \overline{ES_1} \cdot \overline{GE} \cdot cos(\varphi) \\ & = 3^2 + 10^2 – 2 \cdot 3 \cdot 10 \cdot cos(63,43°) \\ \Rightarrow & \overline{S_1 G} = 9,06 cm \end{align} \)

Zuerst bestimmst du die Höhe in Abhängigkeit von x, um diese dann in die Volumenformel der Pyramide einzusetzen:

\(\begin{align} \frac{\overline{Q_n S_n}}{\overline{AE}} &= \frac{\overline{MS_n}}{\overline{ME}} \, \, | \cdot \overline{AE} \\ \overline{Q_n S_n} &= \frac{\overline{M S_n}\cdot \overline{AE}}{\overline{AE}} \\ &= \frac{(11,18 – x) \cdot 10}{11,18} \\ &= 10 – \frac{10}{11,18} \cdot x \\ &= (10 – 0,89x) cm \end{align} \)

Die Streckenlänge kann auch mit dem Sinus im \( Dreieck A_n MS_n \) berechnet werden.

\begin{align} & Berechnung \, des \, Volumens \, V_{ABCDS_n}: \\ V &= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot \overline{AC} \cdot \overline{BD} \cdot \overline{Q_n S_n} \\ &= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 6 \cdot (10- 0,89x) \\ \Rightarrow &V(x) = (100 – 8,9x) cm^3 \end{align}

Zuerst berechnest du die passende Belegung für x, um dann auf das Volumen zu schließen. Hierzu verwendet man den Sinussatz. Die passenden Winkel musst du dir anhand der Innenwinkelsumme im Dreieck ausrechnen.

\begin{align} &x \, im \, Dreieck AMS_2: \\ \frac{\overline{MS_2}}{sin(\angle MAS_2)} &= \frac{\overline{AM}}{sin(\angle AS_2M)} \\ \frac{11,18 – x}{sin(54°)} &= \frac{5}{sin(180° – 63,43° – 54°)} \, \, \, |\cdot sin(54°) \\ 11,18 – x &= \frac{5 \cdot sin(54°)}{sin(62,57°)} \\ 11,18 – x &= 4,56 \, \, \, |+x – 4,56 \\ x &= 6,62 \\ \\ &V \, mit \, dem \, Ersatzergebnis: \\ V(x) &= 100 – 8,9 \cdot x \\ V(6,62) &= 100 – 8,9 \cdot 6,62  \\ \Rightarrow &V = 41,08 cm^3 \end{align}

Unter allen Pyramiden ABCDS_n hat die Pyramide mit der Höhe \( \overline{AE} \) das größte Volumen. Diese entspricht auch der Höhe des Prismas. Die Grundflächen ABCD sind bei der Pyramide und dem Prisma gleich. Wir können direkt am größten Prisma-Volumen vergleichen:

\begin{align} V_{max Prisma} &= 0,5 \cdot \overline{AC} \cdot \overline{BD} \cdot \overline{AE} \\ &= 0,5 \cdot 10 \cdot 6 \cdot 10 \\ &= 300 cm^3 \\ \Rightarrow 0,5 \cdot V = 150 cm^3 \end{align}

Das Volumen der Pyramide (V = 100 – 8,9x) ist kleiner oder gleich 100. Also kann diesen Volumen nie 150 sein, denn 150 > 100.