2018 Haupttermin B1: Quadratische Funktionen

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Setze die Punkte P(-2|19) und Q(4|-5) jeweils in die Parabelgleichung \( y = 0,5 x^2 + bx + c \) ein, um ein Gleichungssystem aufzustellen. Löse es dann mit dem GTR

\( \begin{align} (I) y &= 0,5 x^2 + bx + c \\ & \land \, \, \, (II) y = 0,5 x^2 + bx + c \\ (I) 19 &= 0,5 \cdot (-2)^2 + b \cdot (-2) + c \\ & \land \, \, \, (II) -5 = 0,5 \cdot  4^2 + b \cdot 4 + c \\ Umformen \, &zu \, “= 0”: \\ (I) -2b + c – 17 &= 0 \\ & \land \, \, \, (II) 4b + c + 13 = 0 \\ \Rightarrow GTR: \, b &= -5 \, \land \, c = 7 \end{align} \)

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Berechne die Schnittpunkte von g und p. Setze dazu die Funktionsterme gleich und löse nach „= 0“ auf und löse die quadratische Gleichung mit dem GTR.

\( \begin{align} y_{Parabel} &= y_{Gerade} \\ 0,5x^2 -5x + 7 &= 0,5x – 2 \, \, \, | \, – 0,5x + 2 \\ 0,5x^2 -5,5x + 9 &= 0 \\ \Rightarrow GTR: \, x_1 = 2 \lor x_2 = 9 \\ \Rightarrow &x \in ]2; 9[ \end{align} \)

Berechnung von \( \overline{A_nC_n} \) durch „oben – unten“:

\( \begin{align} \overline{A_n C_n} &= 0,5x – 2 – (0,5x^2 – 5x +7) \\
&= 0,5x – 2 – 0,5x^2 +5x – 7 \\
\Rightarrow & \overline{A_n C_n} = (-0,5x^2 + 5,5x -9) LE \\
\\
&Berechnung \, von \, \overline{A_2C_2}: \\
\overline{A_2C_2} & = (-0,5 \cdot 6^2 + 5,5 \cdot 6 – 9 ) = 6 LE \\
\\
&Berechnung \, von \, \varphi : \\
tan (\frac{\varphi}{2}) &= \frac{0,5 \cdot \overline{B_2 D_2}}{0,5 \cdot \overline{A_2 C_2}} \\ tan (\frac{\varphi}{2}) &= \frac{0,5 \cdot 2}{2 \cdot 6} \\
\Rightarrow \frac{\varphi}{2} &= 18,435° \\
\varphi &= 36,87° \\
\\
&Berechnung \, von \, \overline{A_2 B_2}: \\
\overline{A_2 B_2}^2 &= (0,5 \cdot \overline{B_2 D_2})^2 + (0,5 \cdot \overline{A_2 C_2})^2 \\
\overline{A_2 B_2}^2 &= (0,5 \cdot 2)^2 + (0,5 \cdot 6)^2 \\
\Rightarrow &\overline{A_2 B_2} = 3,16 LE \end{align} \)

Um die Punkte \( B_n \) zu finden, musst du eine LE rechts vom Mittelpunkt der Diagonalen [AC] suchen. Weil die Abszisse gleich ist, ist die x-Koordinate des Mittelpunktes x. Die y-Koordinate erhältst du durch die Formel für den Mittelpunkt:

\( \begin{align} y_{Mittelpunkt} &= \frac{oben + unten}{2}  = \frac{0,5x^2 – 4,5x + 5}{2} \\ & = 0,25x^2 – 2,25x + 2,5 \\ \Rightarrow &B_n (x+1|0,25x^2 – 2,25 x + 2,5) \end{align} \)

\( \begin{align} A_{Raute} &= 0,5 \cdot e \cdot f \\ &= 0,5 \cdot \overline{A_n C_n} \cdot \overline{B_n D_n}\\ &= 0,5 \cdot (- 0,5x^2 + 5,5 x – 9) \cdot 2 \\ &= -0,5x^2 +5,5x – 9 \\ \\ &Berechne \, den \, Extremwert \, mit \, dem \, GTR: \\ \Rightarrow &T_{max} = 6,13 für x = 5,5. \end{align} \)

Der größte Flächeninhalt ist 6,13 FE und damit kleiner als 7 FE.