2017 Haupttermin A2: Raumgeometrie

\begin{align} &\varphi \, mit \, dem \ Tangens: \\ tan( \varphi ) &= \frac{\overline{ES}}{\overline{EF}} \\ &= \frac{7}{12} \\ \Rightarrow &\varphi = 30,26° \\ \\ & \overline{FS} \, mit \, dem \, Satz \, des \, Pythagoras: \\ \overline{FS}^2 &= \overline{ES}^2 + \overline{EF}^2 \\ &= 7^2 + 12^2 \\ \Rightarrow &\overline{FS} = 13,89 cm. \end{align}

\begin{align} & \overline{FM_2} \, mit \, dem \, Cosinus: \\ cos(\varphi) &= \frac{\overline{PF}}{\overline{FM_2}} \, \, \, |\cdot \overline{FM_2} : cos(\varphi) \\ \overline{FM_2} &= \frac{\overline{PF}}{cos(\varphi)} \\ &= \frac{12 – 5} {cos(30,26°)} \\ \Rightarrow &\overline{FM_2} = 8,10 \\ \Rightarrow &x=8,10 \\ \\ & \overline{R_2 M_2} \, mit \, dem \, Vierstreckensatz: \\ \frac{\overline{R_2 M_2}}{\overline{CF}} &= \frac{\overline{SM_2}}{\overline{FS}} \, \, \, |\cdot \overline{CF} \\ \overline{R_2 M_2} &= \frac{\overline{SM_2}}{\overline{FS}} \cdot \overline{CF} \\ mit &\overline{SM_2} = \overline{FS} – \overline{FM_2} \\ und \, & \overline{CF} = 0,5 \cdot \overline{BC} \\ \overline{R_2 M_2} &= \frac{13,89 – 8,1}{13,89} \cdot 3,5 \\ \Rightarrow &\overline{R_2 M_2} = 1,46 \\ \overline{R_2 Q_2} &= 2 \cdot \overline{R_2 M_2} \\ \Rightarrow &\overline{R_2 Q_2} = 2,92 cm \end{align}

Um die Aufgabe lösen zu können, benötigst du das Volumen der Pyramide \( PR_2Q_2F \) und das Volumen der Pyramiade ABCDS. Anschließend kannst du den prozentualen Anteil bestiemmen. Für \( PR_2Q_2F \) brauchst du die \( \overline{PM_2} \)
\begin{align} &\overline{PM_2} \text{ mit dem Satz des Pythagoras:}\\
\overline{FM_2}^2 &= \overline{PM_2}^2 + \overline{PF}^2 \,\,\, |-\overline{PF}^2 \\
\overline{PM_2}^2 &= \overline{F_2M}^2 – \overline{PF}^2 \\
\overline{PM_2}^2 &= 8,1^2 – 7^2 \\
\Rightarrow &\overline{PM_2} = 4,08 \text{cm} \\
\\
&V_{PR_2Q_2F} \text{ mit der Volumenformel:}\\
V_{PR_2Q_2F} &= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot \overline{R_2Q_2} \cdot \overline{PM_2} \cdot \overline{PF} \\
&= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot 2,92 \cdot 4,08 \cdot 7 \\
\Rightarrow &V_{PR_2Q_2F} = 13,90 \text{cm}^3\\
\\
&V_{ABCDS} \text{ mit der Volumenformel:}\\
V_{ABCDS} &= \frac{1}{3} \cdot \overline{AB} \cdot \overline{BC} \cdot \overline{ES}\\
&= \frac{1}{3} \cdot 12 \cdot 7 \cdot 7 \\
\Rightarrow &V_{ABCDS} = 196 \text{cm}^3 \\
\\
&p \text{ mit der Prozentformel:}\\
p &= \frac{V_{PR_2Q_2F}}{V_{ABCDS}} \cdot 100 \% \\
&= \frac{13,90}{196}\cdot 100\% \\
\Rightarrow p&= 7,09 \% \end{align}