2016 Haupttermin B2: Raumgeometrie

Na, ist dir etwas aufgefallen? Richtig! Die Punkte in der Grundfläche sind falsch beschriftet. Vergleiche mit der Skizze, da stehen sie richtig.

\begin{align} &\overline{CS} \text{ mit dem Satz des Pythagoras:} \\
\overline{CS}^2 &= \overline{AC}^2 + \overline{AS}^2 \\
\overline{CS}^2 &= 10^2 + 9^2 \\
\Rightarrow &\overline{CS} = 13,45 cm \\
\\
&\varepsilon \text{ mit dem Tangens:}\\
tan(\varepsilon) &=\frac{\, \overline{AS} \,}{\overline{AC}} \\
&= \frac{\, 9 \,}{10} \\
\Rightarrow &\varepsilon = 41,99° \end{align}

Zurück zum MAP-Hack:


\begin{align} &\overline{ E_n F_n} \text{ mit dem Vierstreckensatz:}\\
\frac{\, \overline{E_n F_n} \,} {\overline{AB}} &= \frac{ \, \overline{CF_n} \,}{\overline{AC}} \\
\frac{\, \overline{E_n F_n} \,}{7} &= \frac{\, 10 \, – \, x\,}{10} \,\,\, |\cdot 7\\
\Rightarrow &\overline{E_n F_n} = (-0,7x + 7) cm \end{align}

In einem Quadrat haben alle Seiten gleiche Länge. Damit lässt sich eine Gleichung aufstellen und lösen:

\begin{align} \overline{AF} &= \overline{EF} \\
x &= -0,7x + 7 \,\,\, |+0,7x \\
1,7x &= 7 \,\,\, |:1,7 \\
\Rightarrow x &= 4,12 \end{align}

Zurück zum MAP-Hack:

\begin{align} &\text{Einsetzen in die Flächenformel:} \\
A(x) &= \overline{AF_n} \cdot \overline{E_n F_n} \\
&= x \cdot (-0,7x + 7) \\
\Rightarrow &A(x) = (-0,7x^2 + 7x) cm^2 \\
\\
&\text{Berechnung des Extremwerts mit dem GTR:}\\
\Rightarrow &\text{GTR: } A_{max} = 17,5 \, für \, x=5 \end{align}

Zurück zum MAP-Hack:

\begin{align} &h \text{ mit dem Sinus }: \\
sin(\varepsilon) &= \frac{ h } {\, \overline{CT} \, } \,\,\, |\cdot \overline{CT} \\
h &= sin(\varepsilon) \cdot \overline{CT} \\
&= sin(\varepsilon) \cdot (\overline{CS} – \overline{TS})\\
&= sin(41,99°) \cdot (13,45 – 2) \\
\Rightarrow &h = 7,66 cm \end{align}

Zurück zum MAP-Hack:

\begin{align} &\alpha < 138,01° \text{ mit der Innenwinkelsumme:} \\
\alpha + \varepsilon &< 180° \\
\alpha + 41,99° &< 180° \,\,\, | -41,99° \\
\alpha &< 138,01° \end{align}

Um die untere Intervallgrenze zu bestimmen, berechnest du \( \overline{AT} \) mit dem Cosinussatz, um dann mit dem Sinus auf den Winkel TAC zu schließen. Du berechnest als oden kleinesten möglichen Winkel über ein Hilfsdreieck:

\begin{align} &\overline{AT} \text{ mit dem Cosinussatz:}\\
\overline{AT}^2 &= \overline{AC}^2 + \overline{CT}^2 – 2 \cdot \overline{AC} \cdot \overline{CT}^2 \cdot cos(\varepsilon) \\
&= 10^2 + 11,45^2 – 2 \cdot 10 \cdot 11,45 \cdot cos(41,99°) \\
\Rightarrow &\overline{AT} = 7,80 \\
\\
&\angle TAC \text{ mit dem Sinus:}\\
sin(\angle TAC) &= \frac{\, h \, }{\, \overline{AT} \,} \\
&= \frac{\, 7,66 \,}{7,80} \\
\Rightarrow &\angle TAC = 79,13° \end{align}

4 Kommentare zu „2016 Haupttermin B2: Raumgeometrie“

  1. Julia Gattinger

    Hallo,
    ich habe noch einen Fehler entdeckt. B 2.5 heißt es bei der Berechnung des Winkels TAF doch für AT 7,80 statt 8,80 oder?
    LG Julia

    1. Wow, dass dir soetwas mitten in der Rechnung auffällt. Vielen, vielen Dank! Immer diese Tippfehler. Gerne wieder!
      LG Tobias Cobanov

  2. Hallo
    ich habe beim rechnen 2 Fehler in der Lösung entdeckt.
    Bei 2.1 ist die Pyramide falsch beschriftet und bei 2.2 ist in der Lösung das Ergebnis für EnFn nicht korrekt (es fehlt ein Minus vor dem 0,7).

    VG Matthias

    1. Vielen Dank! Ist ausgebesser bzw. angemerkt. Super Sache, dass es aufgefallen ist!

      Weiterhin viel Spaß mit dem MAP-HAck!

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