2015 Haupttermin B2: Raumgeometrie

\begin{align} \overline{MS} \text{ mit dem Tangens:}\\
tan(\angle SNM) &= \frac{\, \overline{MS} \,}{\overline{MN}} \,\,\, |\cdot \overline{MN}\\
\overline{MS} &= \overline{MN} \cdot tan(\angle SNM) \\
&=8 \cdot tan(55°)\\
\Rightarrow &\overline{MS} = 11,43 \text{cm}\\
\\
\overline{SN} &\text{mit dem Cosinus:}\\
\cos(\angle SNM) &= \frac{\, \overline{MN} \,}{\overline{SN}} \,\, | \cdot \overline{SN} \, :cos(\angle SNM)\\
\overline{SN} &= \frac{\overline{MN}}{cos(\angle SNM)} \\
&= \frac{8}{cos(55°)}\\
\Rightarrow &\overline{SN} = 13,95 \text{cm}\end{align}

Zurück zum MAP-Hack:

Einzeichnen der Pyramide

\begin{align} &\angle MSN \text{ über die Innenwinkelsumme:}\\
\angle MSN &= 180° – \angle NMS – \angle SNM \\
&=180° – 90° – 55° \\
\Rightarrow &\angle MSN = 35° \\
\\
& \overline{MP_1} \text{ mit dem Cosinussatz:}\\
\overline{MP_1} &= \overline{MS}^2 + \overline{P_1 S}^2 – 2 \cdot \overline{MS} \cdot \overline{P_1 S} \cdot cos(\angle MSN) \\
&= 11,43^2 + 5^2 – 2 \cdot 11,43 \cdot 5 \cdot cos(35°) \\
\Rightarrow &\overline{MP_1} = 7,88 \text{cm}\\
\\
&\angle SP_1 M \text{ mit dem umgeformten Cosinussatz:}\\
cos(\angle SP_1 M) &= \frac{ \, \overline{MP_1}^2 + \overline{P_1 S}^2 – \overline{MS}^2 \,}{2 \cdot \overline{MP_1} \cdot \overline{P_1 S}} \\
&=\frac{\, 7,88^2 + 5^2 -11,43^2 \, }{2 \cdot 7,88 \cdot 5} \\
\Rightarrow &\angle SP_1 M = 123,55° \end{align}

Zurück zum MAP-Hack:

Um das Volumen zu bestimmen, benötigst du die Höhe \( h = \overline{F_n P_n} \) . Hierfür berechnest du die zuerst die Länge \( \overline{NP_n} \).

\begin{align} \overline{NP_n} &=\overline{SN} – x \\
&= 13,95 -x\\
\\
&\overline{P_n F_n} \text{ über den Sinus:}\\
sin(\angle P_n N F_n) &= \frac{\, \overline{P_n F_n} \,}{\overline{NP_n}} \,\,\, |\cdot \overline{NP_n}\\
\overline{P_n F_n} &= \overline{NP_n } \cdot sin(\angle P_n N F_n) \\
&= (13,95 – x) \cdot sin(55°) \\
\Rightarrow &\overline{P_n F_n}(x) = (-0,82x + 11,43) \text{ cm}\\
\\
&V \text{ über die Volumenformel:}\\
V &= \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{2} \cdot \overline{AB}^2 ) \cdot \overline{P_n F_n}\\
&= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot 8^2 \cdot(-0,82x + 11,42) \\
\Rightarrow &V(x) = (-8,75x + 121,92) \text{cm}^3 \end{align}

Zurück zum MAP-Hack:

\begin{align} V &= \frac{1}{3} \cdot \overline{AB}^2 \cdot \overline{MS} \\
&= \frac{1}{3} \cdot 8^2 \cdot 11,43 \\
\Rightarrow &V = 243,83 \text{ cm}^3
\\
V(x) &= 0,34 \cdot V \\
-8,75x + 121,92 &> 0,34 \cdot 243,83 \\
-8,75x + 121,92 &> 82,91 \,\,\, |- 121,92 \\
-8,75x &> -39,01 \,\,\, |:(-8,75) \, \text{ Inversionsgesetz!}\\
x &< 4,46 \end{align}

Zurück zum MAP-Hack:

Weil im Punkt \( P_2 \) die kürzeste Entfernung zu M gilt, ist dort auch ein rechter Winkel. Zeichne die Pyramide ein und arbeite mit dem rechten Winkel.

\begin{align} &\overline{MP_2} \text{ mit dem Sinus:}\\
sin(\angle P_2 NM) &= \frac{\, \overline{MP_2} \,}{\overline{MN}}\,\,\, |\cdot \overline{MN}\\
\overline{MP_2} &= \overline{MN}\cdot sin(\angle P_2 NM) \\
&= 8 \cdot sin(55°) \\
\Rightarrow &\overline{MP_2} = 6,55 \text{cm} \\
\\
&x \text{ mit dem Tangens:}\\
tan(\angle MSP_2 ) &= \frac{\, \overline{MP_2} \,}{x} \,\,\, |\cdot x : tan(\angle MSP_2 ) \\
x &= \frac{\overline{MP_2}}{tan(\angle MSP_2 )} \\
&= \frac{6,55}{tan(35°)}\\
\Rightarrow &x = 9,35 \text{ cm} \end{align}

Zurück zum MAP-Hack:

3 Kommentare zu „2015 Haupttermin B2: Raumgeometrie“

  1. Hallo liebes Map-Hack Team,
    es liegt ein Fehler vor bei der 2015 HT AP Aufgabe B2.5. Die Belegung für x ist 4,59. Es wurde ein Winkel von 35 grad verwendet aber der Winkel ist 55 grad groß. Hoffe ich hab mich selber nicht verrechnet aber es müsste stimmen! 🙂

    MFG Miriam
    P.S. Danke für die Seite, ihr rettet meinen Abschluss

    1. Hallo Miriam,
      danke für deinen Kommentar. Ich rechne es nachher schnell nach und bessere es dann aus! Super, dass du hilfst die Seite besser zu machen =)
      Viel Erfolg weiterhin bei deiner Prüfungsvorbereitung!
      Tb.Cb

      1. Ich habe es mir eben in Ruhe angeschaut. Achtung, die Lösung ist richtig, weil hier mit dem Winkel MSP – also der Winkel bei S – angesetzt wird. Der ist 35° groß, das kann man über die Innenwinkelsumme ausrechnen.

Schreibe einen Kommentar

Deine E-Mail-Adresse wird nicht veröffentlicht. Erforderliche Felder sind mit * markiert

Scroll to Top