2014 Haupttermin A1: Rotationskörper

Das gesuchte Volumen setzt sich aus dem Volumen des Kegelstumpfes und dem Volumen des Zylinders zusammen. Zur Berechnung benötigst du einerseits die Streckenlängen \( \overline{CK}, \, \overline{BH} , \, \overline{HK} \) die direkt aus den Angaben bestimmen kannst und die Längen der Strecken \( \overline{LH} \) und \( \overline{AG} \). Du berechnest diese und setzt anschließend in die Volumenformeln ein.

\begin{align} &\overline{CK}, \, \overline{BH} , \, \overline{HK} \text{ aus den Angaben:}\\
\overline{CK} &= 0,5 \cdot \overline{CD} = 2 \\
\overline{BH} &= \overline{CK} = 2 \\
\overline{HK} &= \overline{BC} = 1,4 \\
\\
&\overline{LH} \text{ mit dem Tangens:}\\
tan(\angle EBA) &= \frac{\, \overline{LH} \,}{\overline{BH}} \,\,\, |\cdot \overline{BH}\\
\overline{LH} &= tan(\angle EBA) \cdot \overline{BH}\\
&=tan(35°) \cdot 2 \\
\Rightarrow &\overline{LH} = 1,4\\
\\
&\overline{LH} \text{ über die Differenz:}\\
\overline{LG} &= \overline{LH}- \overline{GH} \\
&= 1,4 – 0,6 \\
\Rightarrow &\overline{LG} = 0,8 \\
\\
&\overline{AG} \text{ mit dem Tangens:}\\
tan(\angle GAL) &= \frac{\, \overline{LG} \,}{\overline{AG}} \,\, \, |\cdot \overline{AG} \, : tan(\angle GAL)\\
\overline{AG} &= \frac{\overline{LG}}{tan(\angle GAL)} \\
&= \frac{0,8}{tan(35°)}\\
\Rightarrow &\overline{AG} = 1,1 \\
\\
&V \text{ durch Einsetzen in die Volumenformel:}\\
V &= V_{Kegelstumpf} + V_{Zylinder}\\
&= V_{Kegel groß} – V_{Kegel klein}+ V_{Zylinder} \\
&= \frac{1}{3} \cdot \overline{BH}^2 \cdot \pi \cdot \overline{LH} – \frac{1}{3} \cdot \overline{AG}^2 \cdot \pi \cdot \overline{LG} + \overline{CK}^2 \cdot \pi \cdot \overline{HK} \\
&= \frac{1}{3} \cdot 2^2 \cdot \pi \cdot 1,4 – \frac{1}{3} \cdot 1,1^2 \cdot \pi \cdot 0,8 + 2^2 \cdot \pi \cdot 1,4 \\
\Rightarrow &V = 22,4 \text{dm}^3 > 20 \text{l} \end{align}

Die Erde passt in die Schale.