A2 Die nebenstehende Skizze zeigt ein Logo-Design bestehend aus einer Raute ABCD und einem Kreisbogen.
Es gilt: \( |\overline{DM}| = 5 cm ; |\overline{CD}| = 10 cm ; r = 3 cm \)
Berechnen Sie den Flächeninhalt des Logos. Runden Sie auf zwei Stellen nach dem Komma.
(Tipp: \( 6\pi + 50 \sqrt{3} = 105,45 \) )
Lösung zu A2
Der Flächeninhalt setzt sich aus dem Flächeninhalt der Raute (\( A = 0,5 \cdot e \cdot f \) ) und dem Flächeninhalt des Kreisbogens zusammen. Wir fangen mit der Raute an und brauchen dazu die Länge der beiden Diagonalen. Weil diese senkrecht aufeinadner stehen, können \( \overline{MC}\) mit dem Satz des Pythagoras ausrechnen. Also das würde funktionieren, aber weil wir Sinus, Cosinus und Tangens ohne TR üben wollen, machen wir das nicht. Den Winkel bei D brauchen wir ohnehin für später, deshalb berechen wir ihn zuerst und benutzen dann den Sinus.
\begin{align} &\angle CMD \text{ mit dem Cosinus:}\\
cos(\angle CMD) &= \frac{|\overline{MD}|}{|\overline{CD}|} \\
cos(\angle CMD) &= \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \end{align}
An dieser Stelle musst du die Tabelle „rückwärts“ verwenden. Wann ergibt der Cosinus 1/2? Du liest den Winkel als Ergebnis ab.
\begin{align} cos(\angle CMD) &= \frac{1}{2} \\
\Rightarrow &\angle CMD = 60° \\
\\
&|\overline{MC}| \text{ mit dem Sinus}\\
sin(\angle CMD) &= \frac{|\overline{MC}|}{|\overline{CD}|} \\
sin(60°) &= \frac{|\overline{MC}|}{10} \,\,\, |\cdot 10\\
sin(60°) \cdot 10 &= |\overline{MC}| \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \text{Tabelle:} sin(60°) = \frac{1}{2} \sqrt{3} \\
\frac{1}{2} \sqrt{3} \cdot 10 &= |\overline{MC}| \\
\Rightarrow &|\overline{MC}| = 5 \sqrt{3}\\
\Rightarrow &|\overline{AC}| = 10 \sqrt{3} \\
\\
&\text{ Einsetzen in die Flächenformel der Raute:}\\
A_{Raute}&= 0,5 \cdot e \cdot f \\
&= 0,5 \cdot |\overline{AC}| \cdot |\overline{BD}|\\
&= 0,5 \cdot 10 \sqrt{3} \cdot 10 \\
\Rightarrow &A_{Raute} = 50 \sqrt{3} \end{align}
Für den Flächeninhalt des Kreissektors benötigtst du den Innenwinkel. Dieser ist jetzt nicht mehr schwer zu bestimmen, denn der ganze Kreis hat 360° und jeder grüne Winkel hat 60°, haben wir ja oben ausgerechnet. Der Innenwinkel ist also
\( 360° – 2 \cdot 60° = 240° \)
\begin{align} &\text{Einsetzen in die Kreissektorformel:}\\
A_{Sektor}&= \frac{\alpha}{360°} \cdot \pi \cdot r^2 \\
&= \frac{240°}{360°} \cdot \pi \cdot 3^2 \\
&= \frac{2}{3} \cdot \pi \cdot 9 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \text{9 und 3 kürzen}\\
&= 2 \cdot \pi \cdot 3 \\
\Rightarrow &A_{Sektor}= 6 \pi \\
\\
&\text{Zusammensetzen zum Gesamtergebnis:}\\
A_{ges} &= A_{Sektor} + A_{Raute}\\
&= 6 \pi + 50 \sqrt{3} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \text{Tipp verwenden}\\
\Rightarrow &A_{ges} = 105,45 cm^2 \end{align}