Musterprüfung 1 – Raumgeometrie – B4

\begin{align} & |\overline{CS}| \text{ mit dem Satz des Pythagoras:} \\
|\overline{CS}|^2 &= |\overline{AM}|^2 + |\overline{MS}|^2 \\
&= (0,5 \cdot 13)^2 + 12^2 \\
\Rightarrow &|\overline{AM}| = 13,65 cm \\
\\
& \angle SCA \text{ mit dem Tangens:} \\
tan(\angle SCA) &= \frac{|\overline{MS}|}{|\overline{AM}|} \\
&= \frac{12}{0,5 \cdot 13} \\
\Rightarrow & \angle SCA = 61,56° \end{align}

Die Aufgabe besteht aus drei Schritten: Berechnung des Volumens der kleinen Pyramide, Berechnung des Volumens der großen Pyramide und der Bestimmung des prozentualen Anteils. Um das kleinere Volumen zu bestimmen, benötigst du die Längen der Diagonalen.

\begin{align} &V_{klein} \text{ mit } \overline{P_1 Q_1} \text{ und } \overline{H_1 R_1}: \\
\\
& |\overline{P_1 Q_1}| \text{ mit dem Vierstreckensatz:} \\
\frac{|\overline{P_1 Q_1}|}{|\overline{BD}|} &= \frac{x}{|\overline{AM}|} \\
\frac{|\overline{P_1 Q_1}|}{12} &= \frac{3}{0,5 \cdot 13} \,\,\, | \cdot 12 \\
|\overline{P_1 Q_1}| &= \frac{3}{6,5} \cdot 12 \\
\Rightarrow &|\overline{P_1 Q_1}| = 5,54 cm \\
\\
& \overline{H_1 R_1} \text{ mit dem Satz des Pythagoras:} \\
|\overline{CS}|^2 &= (|\overline{AC}| – x)^2 + |\overline{H_1 R_1}|^2 \\
|\overline{H_1 R_1}| ^2 &= |\overline{CS}|^2- (|\overline{AC}| – x)^2 \\
&=(13,65)^2 -(13 – 3)^2 \\
\Rightarrow &|\overline{H_1 R_1}| = 9,29 cm \\
\\
&\text{Berechnung des Volumens } V_{klein}: \\
V_{klein} &= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot |\overline{AC}| \cdot |\overline{P_1 Q_1}| \cdot |\overline{H_1 R_1}| \\
&= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot 5,54 \cdot 9,29 \\
\Rightarrow & V_{klein} = 111,51 cm^3 \\
\\
&\text{ Berechnung von }V_{groß}: \\
V_{groß} &= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot |\overline{AC}| \cdot |\overline{BD}| \cdot |\overline{MS}| \\
&= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot 12 \cdot 12 \\
\Rightarrow &V_{groß} = 312 cm^3 \\
\\
&\text{Berechnung des Prozentsatzes: }\\
p &= \frac{V_{klein}}{V_{groß}} \cdot 100 \% \\
&= \frac{111,51}{312} \cdot 100 \% \\
\Rightarrow &p = 35,74 \% \end{align}

\begin{align} & |\overline{CH_2}| \text{ mit dem Satz des Pythagoras:} \\
|\overline{CS}|^2 &= |\overline{CH_2}|^2 + |\overline{H_2 R_2}|^2 \\
|\overline{CH_2}|^2 &= |\overline{CS}|^2 – |\overline{H_2 R_2}|^2 \\
&= 13,65^2 – 6^2 \\ \Rightarrow &|\overline{CH_2}| = 12,26 \\
|\overline{AH_2}| &= 13 – 12,26 = 0,74 cm. \end{align}

Es gilt: x = 0,74.

\begin{align} &|\overline{H_N R_N}| \text{ mit dem Satz des Pythagoras:}
\\ |\overline{H_N R_N}|^2 &= |\overline{CS}|^2 – (|\overline{AC}| – x)^2 \\ &= 13,65^2 – (13 – x) ^2 \\
&= 13,65^2 – (169 – 26x + x^2) \\
&= -x^2 + 26x + 17,32 \,\,\, \sqrt{} \\
\Rightarrow |\overline{H_n R_n}| &= \sqrt{-x^2 + 26x + 17,32} cm \end{align}

Angenommen es gibt eine Pyramide, in der es den Winkel RCA = 15° gibt, dann können wir mit \( |\overline{CS}| \) den Cosinus ansetzen:

\begin{align} cos(\angle RCA) &= \frac{|\overline{CH_3}|}{|\overline{CS}|} \, \, | \cdot |\overline{CS}| \\ |\overline{CH_3}| &= cos(15°) \cdot 13,65 = 13,18. \\ |\overline{CH_3}| = 13,18 &> |\overline{AC}| \end{align}

Damit liegt aber H nicht mehr auf \( \overline{AC} \), was nicht sein darf.