Ebene Geometrie – Übung 2

2.1

2.2 Die Seiten des Drachenvierecks sind die Hypotenusen der Dreiecke, die mit den Diagonalen entstehen. Du verwendest also zweimal den Satz des Pythagoras und addierst dann.

\begin{align} |\overline{AD}|^2 &= |\overline{AM}|^2 + |\overline{MD}|^2 \\
|\overline{AD}|^2 &= 7^2 + 2,5^2 \,\,\, |\sqrt{}\\
&\Rightarrow |\overline{AD}| = 7,4 cm \\
\\
|\overline{CD}|^2 &= |\overline{MC}|^2 + |\overline{MD}|^2 \\
|\overline{CD}|^2 &= 2^2 + 2,5^2 \,\,\, |\sqrt{}\\
&\Rightarrow |\overline{CD}| = 3,2 cm \\
\\
&\Rightarrow U = 2 \cdot 7,4 + 2 \cdot 3,2 = 21,2 cm
\end{align}

2.3 Der Winkel ADC setzt sich aus den Winkel ADM und MDC zusammen. Für den ersten Teil berechnet man die Winkel und addiert sie.

\begin{align} tan(\angle ADM) &= \frac{|\overline{AM}|}{|\overline{DM}|} \\
&= \frac{7}{2,5} \,\,\, |tan^{-1}\\
&\Rightarrow \angle ADM = 70,3° \\
\\
tan(\angle MDC) &= \frac{|\overline{MC}|}{|\overline{DM}|} \\
&= \frac{2}{2,5} \,\,\, |tan^{-1}\\
&\Rightarrow \angle MDC = 38,7° \\
\\
&\Rightarrow \angle ADC = 70,3° + 38,7° = 109,0° \end{align}

Für den zweiten Teil der Aufgabe brauchst du die Innenwinkelsumme im Viereck. Diese ist ingesamt 360°. Der Winkel ABC ist aufgrund der Symmetrie genauso groß wie ADC. Der Rest ist nicht mehr schwer.

\begin{align} 360° &= \angle CBA + \angle DCB + \angle ADC + \angle BAD \\
360° &= 109,0° + \angle DCB + 109,0° + \angle BAD \,\,\, |-109,0° – 109,0° \\
142° &= \angle DCB + \angle BAD \end{align}

2.4 Der Winkel setzt sich aus dem Winkel EDM und MCB zusammen. Diese kannst du jeweils ausrechnen und addieren.

\begin{align} tan(\angle DCM) &= \frac{|\overline{DM}|}{|\overline{MC}|} \\
&= \frac{2,5}{2} \,\,\, |tan^{-1}\\
&\Rightarrow \angle DCM = 51,3° \\
\\
\angle ADM &= \angle MCB \\
\\
&\Rightarrow \angle DCB = 2 \cdot 51,3° = 102,6° \end{align}

1.5 Die Bogenlänge kann mit der Formel aus der Formelsammlung berechnet werden. Anschließend noch die Prozentrechnung und die Aufgabe ist geschafft.

\begin{align} b &= \frac{\angle DCB}{360°} \cdot 2 \cdot |\overline{CD}| \cdot \pi \\
&= \frac{102,6°}{360°} \cdot 2 \cdot 3,2 \cdot \pi \\
&\Rightarrow b = 5,7 cm \\
\\
p &= \frac{Anteil}{Ganzes} \cdot 100 \% = \frac{5,7}{21,2} \cdot 100\% = 26,9\% \end{align}

Der Kreisbogen ist um 73,1% kleiner als der Umfang des Drachenvierecks.

1.6 ??

1.7

Achtung, neuer Kreisbogen. Dieser liegt außerhalb des Drachenvierecks. Der Mathe-Lehrer würde sagen, dass es der Kreis über der Strecke \(\overline{BD}\) ist. Das ist der sog. Thaleskreis und alle Punkte auf diesem Kreis bilden mit den Punkten B und D ein rechtwinkliges Dreieck (Grundwissen!). Dabei ist \(\overline{BD}\) die Hypotenuse und die Strecke \(\overline{BE}\) die Ankathete. Damit lässt sich die gesuchte Strecke mit dem Cosinus berechnen.

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