Aufgabe 1: Bruchrechnung
\begin{align} \frac{1}{5} \cdot (\frac{7}{10} + \frac{3}{5}) &= \frac{1}{5} \cdot (\frac{7}{10} + \frac{6}{10}) \\
&= \frac{1}{5} \cdot (\frac{13}{10}) \\
&= \frac{1 \cdot 13}{5 \cdot 10} \\
&= \frac{13}{50}\\
&= \frac{26}{100}\\
&\Rightarrow 26\% \end{align}
\begin{align} \frac{4}{5} \cdot \frac{10}{9} – \frac{7}{9} \cdot \frac{8}{56} &= \frac{4}{1} \cdot \frac{2}{9} – \frac{1}{9} \cdot \frac{8}{8} \\
&= \frac{4}{1} \cdot \frac{2}{9} – \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{1} \\
&= \frac{8}{9} – \frac{1}{9} \\
&= \frac{7}{9} \\
&= \frac{77}{99} \\
\approx 78 \% \end{align}
\begin{align} \frac{14}{12} + \frac{1}{5} – \frac{8}{6} &= \frac{14}{12} – \frac{8}{6} + \frac{1}{5} \\
&= \frac{14}{12} – \frac{16}{12} + \frac{1}{5} \\
&= \frac{-2}{12} + \frac{1}{5} \\
&= \frac{-10}{60} + \frac{12}{60} \\
&= \frac{2}{60} \\
&= \frac{1}{30} \\
\\
&\text{NR: } 1 \, : \, 30 = 0,033…\\
\\
&\Rightarrow \approx 3 \% \end{align}
Aufgabe 2: Lösen quadratischer Gleichungen mit der Mitternachtsformel
\begin{align} x² + 10x – 5 &= 0 \, \, \, \Rightarrow a = 1 ; \, b = 10 ; \, c = -5 \\
x_{1,2} &= \frac{-10 \pm \sqrt{10^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-5)}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 \pm \sqrt{100 + 20}}{2} = \frac{-10}{2} \pm \frac{\sqrt{120}}{2} \\
\Rightarrow x_{1,2} &= -5 \pm \sqrt{30} \end{align}
\begin{align} 2x² – 4x + 2 &= 0 \, \, \, \Rightarrow a = 2 ; \, b = -4 ; \, c = 2 \\
x_{1,2} &= \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 – 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2} = \frac{4 \pm \sqrt{16 – 16}}{4} = \frac{4 \pm \sqrt{0}}{4} \\
\Rightarrow x_{1} &= 1 \end{align}
\begin{align} -3x² + 2x &= -3 \,\,\, |+3 \\
-3x^2 +2x +3 &= 0 \, \, \, \Rightarrow a = -3 ; \, b = 2 ; \, c = 3 \\
x_{1,2} &= \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 – 4 \cdot (-3) \cdot 3}}{2 \cdot (-3)} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 24}}{-6} = \frac{-2}{-6} \pm \frac{\sqrt{24}}{-6} \\
\frac{1}{3} \pm \frac{\sqrt{4 \cdot 6}}{-6} &= \frac{1}{3} \pm \frac{2 \cdot \sqrt{6}}{-6} = \frac{1}{3} \pm \frac{\sqrt{6}}{-3} \\
\Rightarrow x_{1,2} &= \frac{1}{3} \pm \frac{\sqrt{6}}{-3} \end{align}
Aufgabe 3: Vereinfachen von Vielfachen von Pi
\begin{align} \frac{180°}{360°} \cdot 5^2 \cdot \pi – 7,5 \cdot \pi &= \frac{1}{2} \cdot 25 \cdot \pi – 7,5 \cdot \pi \\
&= 12,5 \cdot \pi – 7,5 \cdot \pi \\
&\Rightarrow 5 \cdot \pi \end{align}
\begin{align} \frac{4}{3} \cdot 2^3 \cdot \pi + 2 \cdot 3 \cdot \pi &= \frac{4}{3} \cdot 8 \cdot \pi + 6 \cdot \pi \\
&= \frac{32}{3} \cdot \pi + 6 \pi \\
&= \frac{32}{3} \cdot \pi + \frac{18}{3} \cdot \pi \\
&= {50}{3} \cdot \pi \\
&\Rightarrow 16\frac{2}{3} \cdot \pi \end{align}
Aufgabe 4: Rechnen mit Sinus, Cosinus und Tangens
\begin{align} sin(45°) &= \frac{\sqrt{2}}{b} \\
0,5 \sqrt{2} &= \frac{\sqrt{2}}{b} \,\,\, |\cdot b : (0,5\sqrt{2}) \\
&\Rightarrow b = \frac{\sqrt{2}}{0,5 \sqrt{2}} = \frac{1}{0,5} = 2 \end{align}
\begin{align} cos(\alpha) &= \frac{\sqrt{12}}{4} = \frac{\sqrt{4 \cdot 3}}{4} = \frac{2 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2} \,\,\, |cos^{-1} \\
&\Rightarrow \alpha = 30° \end{align}
\begin{align} c^2 &= 4^2 + 3^2 – 2 \cdot 4 \cdot \cdot 3 \cdot cos(60°) \\
&= 16 + 9 – 2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} \\
&= 25 – 12 \,\,\, |\sqrt{}\\
&\Rightarrow c = \sqrt{13} \end{align}