2025 Nachtermin B3: Quadratische Funktionen

Stelle ein Gleichungssystem auf, indem du in die Parabelgleichung jeweils einen Punkt einsetzt.

\begin{align} &\text{ Gleichungsystem aus P und Q:}\\
(I) y &= -0,4 x^2 +bx +c \,\,\, | \text{mit } P(-5|-14) \\
(I) -14 &= -0,4 \cdot (-5)^2 + b \cdot (-5) + c \\
(I) -14 &= -10 -5b + c \,\,\, |+10 \\
(I) -4 &= -5b + c \\
\\
(II) y &= -0,4 x^2 +bx +c \,\,\, | \text{mit } Q(-1|2) \\
(II) 2 &= -0,4\cdot (-1)^2 +b \cdot (-1) + c \\
(II) 2 &= -0,4 – b + c \,\,\, |+0,4 \\
(II) 2,4 &= -b + c \\
\\
\Rightarrow & TR \Rightarrow Mode A \Rightarrow 1 \Rightarrow 2 \\
\\
&b = 1,6 \, ; \, c = 4 \end{align}

Gib den Parabelterm in den Taschenrechner ein und lass dir eine Tabelle ausgeben. Die Punkte eintragen und mit einer Freihandlinie verbinden. Die eigene Grafik wird mit dem Video ersetzt, bis dahin gibt es hier die offizielle Lösung.

Gerade in der Produktion 🙂

Die eigene Grafik wird mit dem Video ersetzt, bis dahin gibt es hier die offizielle Lösung.

Gerade in der Produktion 🙂

\begin{align} |\overline{C_nM_n}|(x) &= „oben – unten“ \\
&= -0,4x^2 +1,6x +4 – (0,25x – 0,5)\\
&= -0,4x^2 +1,6x +4 – 0,25x + 0,5 \\
&= -0,4x^2 +1,35x + 4,5 \\
\\
\Rightarrow &TR \Rightarrow Mode A \Rightarrow 2 \Rightarrow 2 \\
&|\overline{C_0M_0}| = 5,64 cm \, \text{ für } \, x = 1,69 \end{align}

Gerade in der Produktion 🙂

Dass bei C ein 90°-Winkel entsteht, muss der Winkel in zwei 45° Winkel halbiert werden. Der Winkel ACM muss dann z.B. 45° sein.
Dort entstehen 45°, wenn wenn das Dreieck gleichschenklig ist, also \( |\overline{AM}| = |\overline{CM}| \) gilt.
Da \( |\overline{AM}| = 2 cm \) laut der Aufgabenstellung gilt, muss auch \( |\overline{CM}| = 2cm \) gelten. Für die Fläche ergibt sich dann:

Gerade in der Produktion 🙂

Das Dreieck ist gleichseitig, wenn alle Seiten gleich lang sind. Soweit so klar.
Die Basis \( |\overline{AB}| = 4 \) ist festgelegt, also kann nur ein
gleichseitiges Dreieck entstehen, wenn alle Seiten 4 LE lang sind.

Die Höhe des Dreiecks kann also mit dem Satz des Pythagoras ausgerechnet werden.
\begin{align} |\overline{AC}|^2 &= |\overline{AM}|^2 + |\overline{CM}|^2 \,\,\, | – |\overline{AM}|^2 \\
|\overline{CM}|^2 &= |\overline{AC}|^2 – |\overline{AM}|^2 \\
&= 4^2 – 2^2 \,\,\, |\sqrt{}\\
&\Rightarrow |\overline{CM}| = 3,46 \end{align}

Diesen Zahlenwert kann du jetzt mit der Formel aus 3.4 gleichsetzen und so an das x kommen.

\begin{align} |\overline{C_nM_n}|(x) &= 3,46 \\
-0,4x^2 +1,35x + 4,5 &= 3,46 \,\,\, |-3,46 \\
-0,4x^2 + 1,35x + 1,04 &= 0 \\
\\
\Rightarrow &TR \Rightarrow Mode A \Rightarrow 2 \Rightarrow 2 \\
x_1 = 4,02 \, &; \, x_2 = -0,65 \end{align}

Gerade in der Produktion 🙂

Wenn A im Ursprung liegt, dann liegt der Mittelpunkt M zwei Längeneinheiten weiter rechts, also bei M(2|0). Denn das ist ja immer gleich.
Mit der Formel aus 3.4 kannst du die Höhe für einen Wert von x berechnen. Und das ist hier die 2.
\begin{align} |\overline{C_nM_n}|(x) &= -0,4x^2 +1,35x + 4,5 \\
|\overline{C_nM_n}|(2) &= -0,4\cdot 2^2 + 1,35\cdot 2 + 4,5 \\
&= 5,6 \end{align}

Diesen Wert schieben wir das M nach oben – also entlang der y-Kooridnate – und landen bei C.

Gerade in der Produktion 🙂