2025 Haupttermin B4: Raumgeometrie

\begin{align} &|\overline{AS}| \text{ im Dreieck AMS mit dem Satz des Pythagoras:}\
|\overline{AS}|^2 &= |\overline{AM}|^2 + |\overline{MS}|^2 \\
|\overline{AS}|^2 &= 6^2 + 8,5^2 \,\,\, |\sqrt{} \\
&\Rightarrow |\overline{AS}| = 10,40 cm \\
\\
&\angle MAS \text{ im Dreieck AMS mit dem Tanges:}\\
tan(\angle MAS) &= \frac{ |\overline{MS}|} { |\overline{AM}|} \\
tan(\angle MAS) &= \frac{ 8,5} { 6} \,\,\, |tan^{-1}\\
&\Rightarrow \angle MAS = 54,78° \end{align}

Die Strecke \( \overline{MP_1} \) ist zwar Teil eines rechtwinkligen Dreiecks, aber in diesen muss du immer umständlich auf andere Längen schließen.
Im Dreieck AMP hast du dagegen 3 Angaben und kannst direkt rechnen.

\begin{align} &|\overline{MP_1}| \text{ im Dreieck AMP mit dem Cosinussatz:}\\
|\overline{MP_1}|^2 &= |\overline{AM}|^2 + |\overline{AP_1}|^2 – 2 \cdot |\overline{AM}|\cdot |\overline{AP_1}| \cdot cos (\angle MAS) \\
|\overline{MP_1}|^2 &= 6^2 + 5,40^2 – 2 \cdot 6 \cdot 5,40 \cdot cos ( 54,78°) \,\,\, |\sqrt{}\\
&\Rightarrow |\overline{MP_1}| = 5,27cm \end{align}

Jetzt fehlt noch der Flächeninhalt und auch wenn man hier mit Einhalb mal Grundseite mal Höhe rechnen könnte, bräuchtet du dafür wieder Zwischenschritte.
Wenn du stattdessen die Sinusformel von der Ecke A aus verwendest, hast du schon alle Angaben:

\begin{align} A_{AMP_1} \text{ mit der Sinusformel:}\\
A_{AMP_1} &= 0,5 \cdot |\overline{AM}| \cdot |\overline{AP_1}| \cdot cos(\angle MAS)\\
&= 0,5 \cdot 6 \cdot 5,40 \cdot cos(54,78°) \\
\Rightarrow A_{AMP_1} &= 13,23 cm^2 \end{align}

Hier haben wir viele verschiedene Dinge zu tun, aber immer eins nach dem anderen. Zuerst die Volumenformel. Diese ist ja allgemein 1/3 mal Grundfläche mal Höhe.
Die Grundfläche verändert sich nicht, ist also kein Problem. Die Höhe ist aber von x abhängig. Du kannst sie mit dem Vierstreckensatz oder dem Sinus berechnen.

\begin{align} &|\overline{P_n H_n}(x)| \text{ im Dreieck AHP mit dem Sinus:}\\
sin(\angle MAS) &= \frac{|\overline{P_n H_n}|}{|\overline{AP_n}|} \\
sin(54,78°) &= \frac{|\overline{P_n H_n}|}{10,40-x} \,\,\, |\cdot (10,40 – x)\\
sin(54,78°) \cdot (10,40 – x) &= |\overline{P_n H_n}| \\
\\
\\ sin(54,78) &= 0,8169… \text{ in die Klammer multiplizieren}\\
\\
&\Rightarrow |\overline{P_n H_n}(x)| = 8,50 – 0,82x \\
\\
&V \text{ mit der Volumenformel:}\\
V &= \frac{1}{3} \cdot A_g \cdot h\\
&= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot |\overline{AM}| \cdot |\overline{DM}| \cdot |\overline{P_n H_n}| \\
&= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 \cdot (8,50 – 0,82x) \\
&= 6 \cdot (8,50 – 0,82x) \\
&\Rightarrow V = (-4,92x + 51,00) cm^3 \end{align}

Der Rechenteil ist geschafft, jetzt geht es zum Extremwert. Bestimmt kommt dir hier gleich „nach =0 auflösen und den Taschenrechenr verwenden“ in den Kopf.
Die Idee ist gut, nur haben wir hier keinen quadratischen Term. Jup, von x² weit und breit keine Spur. Wenn du ins Bild schaust, dann erigbt es auch Sinn.
Je weiter rechts die Höhe ist, desto größer wird die Pyramide. Sie wird einfach immer nur größer.
Der Extremwert wird also am rechten Rand gefunden, wenn P auf S rutscht. Der entsprechende x-Wert ist x=0, denn je größer x ist, desto weiter ist P von S weg.
Der gesuchte Wert ist also für x=0 erreicht und kann mit der Formel leicht bestimmt werden:

\begin{align} 35 &= V(x) \\
35 &= -4,92x + 51,00 \,\,\, |-51 \\
16 &= -4,92x \,\,\, |:(-4,92) \\
&\Rightarrow x = 3,25 \end{align}

Und damit kommen wir zum schwierigeren Teil: Das Intervall. Die Pyramiden sollen größer oder gleich 35 cm³ haben. Sie müssen also rechts von x = 3,25 liegen.
Wenn sie also näher an S liegen sollen, müssen die Werte kleiner als 3,25 sein. Die Grenzen sind in beiden Fällen erlaubt, denn für 3,25 ist das Volumen 35cm³ und
x = 0 ist laut Aufgabenstellung B4.2 erlaubt. Das steht in der Klammer. Das Intervall lautet also:
\( x \in [0; 3,25] \)

Laut Aufgabenstellung soll die Höhe die halbe länge haben. Hier ist also ein Faktor 2 versteckt.
Die Grundfläche der kleinen Pyramide ist ein Viertel der großen Grundflächen. Also der Faktor 4.
Gemeinsam ergibt das den Faktor 8. Ja, das war es schon.
Du kannst auch einfach beide Volumina ausrechnen und dann erkennen, dass das Achtfache rauskommt.