2025 Haupttermin B3: Ebene Geometrie

Im Trapez gelten besondere Winkel, die du auch hier wieder brauchst: Die Winkel bei C und B sind Ergänzungswinkel und ergeben zusammen 180°.
Aus der Angabe weißt du, dass bei ein 65°-Winkel ist. Es fehlen also noch 115° zu 180°. Der Winkel DCB muss also 115° haben.

Zeichnung!

In dieser Aufgabe hast du viele Angaben, aber leider kein Dreieck mit genug Angaben um zu rechnen. Du musst also sofort mit Hilfsdreiecken arbeiten.

Im Dreieck BCD hast ud bereits eine Stecke und einen Winkel. In diesem Dreieck kannst du den Winkel bei B aus den Angaben berechnen und den Winkel bei D dann aus der Innenwinkelsumme schließen:

\begin{align} \angle CBD &= \angle CBA – \angle DBA = 65° – 40° = 25° \\
\angle BDC &= 180° – 115° – 25° = 40° \end{align}

Jetzt hast du im Dreieck BCD genug Angaben um zuerst mit dem Sinussatz die Strecke \( |\overline{CD}|\) auszurechnen und dann mit dem Cosinussatz auf \( |\overline{BD}|\) zu schließen.

\begin{align}
&|\overline{CD}| \text{ im Dreieck BCD mit dem Sinussatz:}\\
\frac{ |\overline{CD}|} { sin(\angle CBD)} &= \frac{ |\overline{BC}|} { sin(\angle BDC)} \\
\frac{ |\overline{CD}|} { sin(25°)} &= \frac{ 10} { sin( 40 °)} \,\,\, |\cdot sin( 25°) \\
&=\Rightarrow |\overline{CD}| = \frac{ 10} { sin( 40°)} \cdot sin (25 °) = 6,57 cm \\
\\
\\
&|\overline{BD}| \text{ im Dreieck BCD mit dem Cosinussatz:}\\
|\overline{BD}|^2 &= |\overline{BC}|^2 + |\overline{CD}|^2 – 2 \cdot |\overline{BC}|\cdot |\overline{CD}| \cdot cos (\angle DCB) \\
|\overline{BD}|^2 &= 10^2 + 6,57^2 – 2 \cdot 10 \cdot 6,57 \cdot cos (115°) \,\,\, |\sqrt{}\\
&\Rightarrow |\overline{BD}| = 14,10 cm \end{align}

Im Dreieck BDC hast du einen Winkel, die Hypotenuse und einen rechten Winkel Die Höhe, also die Gegenkathete zum Winkel soll ausgerechnet werden.
Das ist den Fall für den Sinus.

\begin{align}
&|\overline{DE}| \text{ im Dreieck BDE mit dem Sinus:}\\
sin(\angle DBE) &= \frac{ |\overline{DE}|} { |\overline{BD}|}\\
sin(40°) &= \frac{|\overline{DE}|} {14,10} \,\,\, |\cdot 14,10 \\
&\Rightarrow |\overline{DE}| = sin(40°) \cdot 14,10 = 9,06 cm \\
\\
A_{Trapez} &= \frac{1}{2} \cdot (|\overline{AB}| + |\overline{CD}|) \cdot |\overline{DE}| \\
&= \frac{1}{2} \cdot ( 12 + 6,57) \cdot 9,06 = 84,12cm^2 \end{align}

Der größte Kreis hat den Radius 10 cm – den Abstand von B zu C. Wenn der Abstand von B zu E größer ist, dann kann auch E nicht auf dem Kreisbogen liegen.
Die Streckenlänge von B zu E lässt sich schnell berechnen.
\begin{align}
&|\overline{BE}| \text{ im Dreieck BDE mit dem Cosinus:}\\
cos(\angle DBE) &= \frac{ |\overline{BE}|} { |\overline{BD}|}\\
cos(40°) &=\frac{|\overline{BE}|} {14,10} \,\,\, |\cdot 14,10 \\
&\Rightarrow |\overline{BE}| = cos(40°) \cdot 14,10 = 10,80 cm \end{align}

Jetzt wird es ungewohnt! Du musst den funktionalen Flächeninhalt bestimmen. Das kommt sonst immer bei den Pyramiden oder den wandernden Figuren bei Funktionen vor.
Es funktioniert alles wie immer. Schreibe dir zuerst die Formel hin.

Der Winkel ist immer gleich, aber der Radius ist von x abhängig. Achtung! Das x wird von C aus angetragen. Der Radius sind also 10 – x.

\begin{align} A_{Sektor} &= \frac{65°}{360°} \cdot (10 – x)^2 \cdot \pi \\
&= \frac{65°}{360°} \cdot \pi \cdot (10 – x)^2 \,\,\, \text{ 2. Binomische Formel anwenden}\\
&= \frac{65°}{360°} \cdot \pi \cdot ( 100 – 20x + x² ) \,\,\, \text{ ausmultiplizieren}\\
&\Rightarrow A_{Sektor} = 56,72 – 11,34x + 0,57x² = (0,57x² – 11,34x + 56,72) cm^2 \end{align}

Halbiere den Flächeninhalt aus B3.3 und setze in mit der Formel gleich. Löse dann nach x auf.

\begin{align} 0,5 \cdot 84,12 &= 0,57x² – 11,34x + 56,72 \,\,\, |- 42,06 \\
0&= 0,57x^2 – 11,34x + 14,66 \\
\Rightarrow &\text{ Taschenrechner Menü A 2 2 }\\
x &= 1,39 \end{align}

Der zweite Wert für x liegt nicht im erlaubten Intervall und muss damit aus der Lösungsmenge ausgeschlossen werden.