Lösung zu B2.1
Der Funktionsterm hat den Aufbau: y = Startwert * Wachstumfaktor hoch x.
Der Funktionsterm hat den Aufbau: y = Startwert * Wachstumfaktor hoch x.
Hier ist der Wachstumsfaktor also 1,03. Das sind 103%. Jedes Jahr wachsen die Schulden also um 3%.
Hier geht es zur allgemeinen Erklärung:
Lösung zu B2.2
Setze die vergangenen Jahre für x in den Funktionsterm ein. Ja, ist wirklich so einfach!
Bis zum Jahr 2045 vergehen 20 Jahre. Du musst also f(20) ausrechnen.
\begin{align} f(20) &= 1600 \cdot 1,03^{20} = 2890 \end{align}
Die Staatsschulden wachsen auf 2890 Milliarden Euro.
Hier geht es zur allgemeinen Erklärung:
Lösung zu B2.3
Setze den Funktionsterm mit dem Vierfachen der heutigen Schulden gleich und löse dann nach x auf. Du wirst den Logarithmus brauchen.
Das Vierfache noch 1600 sind 6400. Das musst du jetzt mit dem Funktionsterm gleichsetzen und nach x auflösen.
\begin{align} 6400 &= 1600 \cdot 1,03^x \,\,\, |:1600 \\
4 &= 1,03^x \,\,\, |log_{1,03} \\
&\Rightarrow log_{1,03} (4) = 47 \end{align}
Es dauert 47 Jahre bis sich die Schulden vervierfacht haben.
Hier geht es zur allgemeinen Erklärung:
Lösung zu B2.4
Mach doch mal ein einfaches Zahlenbeispiel mit 100 und 200 Euro und überlege dir die Schulden nach einem Jahr. Welche Aussage passt?
Da es beim exponentiellen Wachstum um Prozente geht, stimmt Antwort 2: Es ist immer noch die Hälfte.
Im Zahlenbeispiel gilt:
\begin{align} 200 \cdot 1,03 &= 206\\
100 \cdot 1,03 &= 103\\
\Rightarrow 103 \cdot 2 = 206 \end{align}
Vor und nach der Prozentrechnung ist es die Hälfte.