2023 Nachtermin B3: Ebene Geometrie

\begin{align} &\angle DCB \text{ über die Innenwinkelsumme:}\\
\angle DCB &= 360° – 65° – 105° – 90° = 100° \\
\\
&|\overline{BD}| \text{mit dem Satz des Pythagoras im Dreieck CBD:}\\
|\overline{BD}|^2 &= |\overline{AB}|^2 + |\overline{AD}|^2 \\
|\overline{BD}|^2 &= 11^2 + 8^2 \,\,\, |\sqrt{}\\
&\Rightarrow |\overline{BD}| = 13,60 cm \end{align}

Zuerst immer das Zwischenergebnis berechnen: Du wirst den Winkel CBD brauchen. Du bekommst ihn, indem du vom ganzen Winkel bei B, den unteren abziehst. Diesen kannst du im rechtwinkligen Dreieck bestimmen.

\begin{align} &\angle DBA \text{ im Dreieck ABD:}\\
tan(\angle DBA) &= \frac{|\overline{AD}|}{|\overline{AB}|} \\
&= \frac{8}{11} \,\,\, |tan^{-1}\\
&\Rightarrow \angle DBA = 36,03° \\
\\
\angle CBD &= \angle CBA – \angle DBA \\
&= 65° – 36,03° \\
&\Rightarrow \angle CBD = 28,97° \end{align}

Im Dreieck BCD hast du jetzt alle Angaben, um mit dem Sinussatz \( |\overline{DC}|\) zu berechnen.

\begin{align} &|\overline{DC}| \text{ mit dem Sinususatz im Dreieck BCD:} \\
\frac{|\overline{DC}|}{sin(\angle CBD)} &= \frac{|\overline{BD}|}{sin(\angle DCB)} \\
\frac{|\overline{DC}|}{sin(28,97°)} &= \frac{13,60}{sin(100°)} \,\,\, |\cdot sin(28,97°)\\
|\overline{DC}| &= \frac{13,60}{sin(100°)} \cdot sin(28,97°) \\
&\Rightarrow |\overline{DC}| = 6,69 cm \end{align}

Bleibt noch \( |\overline{BC}|\). Hier bietet sich der Cosinussatz an. Du brauchst du den Winkel BDC, den man leicht über die Innenwinkelsumme im Dreieck bekommt.

\begin{align}
\angle BDC &= 180° – 100° – 28,97° = 51,03° \\
\\
|\overline{BC}|^2 &= |\overline{BD}|^2 + |\overline{DC}|^2 – 2 \cdot |\overline{BD}| \cdot |\overline{DC}| \cdot cos(\angle BDC) \\
&= 13,60^2 + 6,69^2 -2 \cdot 13,60 \cdot 6,69 \cdot cos(51,03°) \,\,\, |\sqrt{} \\
&\Rightarrow |\overline{BC}| = 10,74 cm \end{align}

Für das allgemeine Viereck gibt es keine Formel. Deshalb zerteilst du in zwei Teildreiecke und berechnest diese einzeln. Im rechtwinkligen Dreieck kannst du \( 0,5 \cdot \text{Kathete} \cdot \text{Kathete} \) verwenden. Im anderen verwendest du die Sinusformel.

\begin{align} A_{ABD} &= 0,5 \cdot |\overline{AB}| \cdot |\overline{AD}| \\
&= 0,5 \cdot 11 \cdot 8 \\
&\Rightarrow A_{ABD} = 44 cm^2 \\
\\
A_{BCD} &= 0,5 \cdot |\overline{BC}| \cdot |\overline{BD}| \cdot sin(CBD) \\
&= 0,5 \cdot 10,74 \cdot 13,60 \cdot sin(28,97°) \\
&\Rightarrow A_{BCD} = 35,37 cm^2 \\
\\
&\Rightarrow A_{ABCD} = A_{ABD} + A_{BCD} = 79,37 cm^2 \end{align}

Der Umfang setzt sich auf dem Kreisbogen und der Streckenlänge \( |\overline{PQ}| \) zusammen. Die Streckenlänge musst du zuerst mit dem Cosinussatz berechnen.

\begin{align} &|\overline{PQ}| \text{ mit dem Cosinssatz:}\\
|\overline{PQ}|^2 &= r^2 + r^2 – 2 \cdot r \cdot r \cdot cos(\angle DCB) \\
&= 4^2 + 4^2 – 2 \cdot 4 \cdot 4 \cdot cos(100°) \,\,\, |\sqrt{} \\
&\Rightarrow |\overline{PQ}| = 6,13 cm \\
\\
&b \text{ mit der Bogenlängen-Formel:}\\
b &= \frac{\angle DCB}{360°} \cdot 2 \cdot r \cdot \pi \\
&= \frac{ 100°}{360°} \cdot 2 \cdot 4 \cdot \pi \\
&\Rightarrow b = 6,98 cm \\
\\
&\Rightarrow u = b + |\overline{PQ}| = 6,98 + 6,13 = 13,11 cm \end{align}

Zuerst berechnest du den Flächeninhalt des Kreissegments, um dann den prozentualen Anteil zu bestimmen.

\begin{align} &\text{Segment durch Sektor – Dreieck:}\\
A &= A_{\text{Sektor}} – A_{CPD}\\
&= \frac{\angle DCB}{360°} \cdot r^2 \cdot \pi – 0,5 \cdot r \cdot r \cdot sin(\angle DCB)\\
&= \frac{100°}{360°} \cdot 4^2 \cdot \pi – 0,5 \cdot 4 \cdot 4 \cdot sin(100°) \\
&\Rightarrow A = 6,08 cm^2 \\
\\
&p \text{ mit der Prozentformel:}\\
p &= \frac{Anteil}{Ganzes} \cdot 100\% = \frac{ 6,08}{79,37} \cdot 100\% = 7,66\% \end{align}