2023 Haupttermin Teil B4: Raumgeometrie

\begin{align} &|\overline{CS}| \text{ mit dem Satz des Pythagoras:}\\
|\overline{CS}| ^2 &= |\overline{AS}|^2 + |\overline{AC}|^2 \\
&= 9^2 + 11^2 \,\,\, |\sqrt{}\\
&\Rightarrow |\overline{CS}| = 14,21 cm \\
\\
&\angle SCA \text{ im Dreieck ACS mit dem Tangens:}\\
tan(\angle SCA) &= \frac{|\overline{AS}|}{|\overline{AC}|}\\
&= \frac{9}{11} \,\,\, |tan^{-1} \\
&\Rightarrow \angle SCA = 39,29° \end{align}

Für diese Aufgabe gibt es viele Rechenwege. Wenn du einen Weg über den Sinussatz gehst, musst du den Sonderfall beachten.
Weil ich diesen gerne vergesse, gehe ich über den Cosinussatz. Dazu brauchst du zuerst die Länge die Strecke \( \overline{AP_1} \), die man im Dreieck ACP1 ausrechnen kann.
\begin{align} &|\overline{AP_1}| \text{ mit dem Cosinussatz im Dreieck ACP:}\\
\\
\text{Es gilt:} & |\overline{CP_1}| = 14,21 – 3 = 11,21 cm \\
|\overline{AP_1}|^2 &= |\overline{AC}|^2 + |\overline{CP_1}|^2 – 2 \cdot |\overline{AC}| \cdot |\overline{CP_1}| \cdot cos(39,29°) \\
&= 11^2 + 11,21^2 – 2 \cdot 11 \cdot 11,21 \cdot cos(39,29°) \,\,\, |\sqrt{}\\
&\Rightarrow |\overline{AP_1}| = 7,47 cm \\
\\
&\angle SP_1A \text{ mit dem Cosinussatz:}\\
cos(\angle SP_1A) &= \frac{|\overline{SP_1}|^2 + |\overline{AP_1}|^2 – |\overline{AS}|^2}{2 \cdot |\overline{SP_1}| \cdot |\overline{AP_1}|}\\
&= \frac{3^2 + 7,47^2 – 9^2}{2 \cdot 3 \cdot 7,47}\,\,\, |cos^{-1} \\
&\Rightarrow \angle SP_1A = 111,19° \end{align}

Achtung, Beschriftung beachten. Die neue Pyramide hat nur das „halbe Dreieck“ ABD als Grundfläche.
Hier hast du alle Angaben, aber die Höhe h(x) musst du noch berechnen. Das machst du im Dreieck \( CP_nF_n \) mit dem Sinus oder mit dem Vierstreckensatz machen.

\begin{align} &|\overline{P_n F_n}| \text{ mit dem Sinus:}\\
sin(\angle SCA) = \frac{|\overline{P_n F_n}|}{|\overline{CP_n}|} \\
sin(39,29°) &= \frac{ |\overline{P_n F_n}|}{14,21 – x } \,\,\, |\cdot (14,21 – x) \\
sin(39,29°) \cdot (14,21 – x) &= |\overline{P_n F_n}| \\
0,63 \cdot (14,21 – x) &= |\overline{P_n F_n}| \\
|\overline{P_n F_n}| &= 8,95 – 0,63x \\
\\
&\text{Einsetzen in die Volumenformel:}\\
V(x) &= \frac{1}{3} \cdot A_g \cdot h \\
&= \frac{1}{3} \cdot (0,5 \cdot |\overline{AM}| \cdot |\overline{BD}|) \cdot |\overline{P_n F_n}|\\
&= \frac{1}{3}\cdot (0,5 \cdot 5,5 \cdot 6) \cdot (8,95 – 0,63x)\\
&= 5,5 \cdot (8,95 – 0,63x) \\
&\Rightarrow V(x) = 49,23 – 3,47x = (- 3,47x + 49,23) cm^3 \end{align}

Das Ergebnis stimmt nicht mit dem Ergesatzergenis überein, da die Müsterlösung mit dem Vierstreckensatz gerechnet wurde und dort andere Rundungsfehler entstehen. Wenn man sin(39,29°) nicht auf zwei Stellen rundet, sondern z.B. auf 3, wird das Ergebnis besser.

Zuerst berechnest du das Volumen der großen Pyramide. Die kleine Pyramide soll UM 80% kleiner sein, also 20% des großen Volumens sein.
Setze 20% des großen Volumens mit dem Term aus B4.3 gleich und löse mit dem Taschenrechner.

\begin{align}
V_{ABCDS} &= \frac{1}{3} \frac{1}{2} \cdot |\overline{AC}| \cdot |\overline{BD}| \cdot |\overline{AS}| \\
&= \frac{1}{3} \frac{1}{2} \cdot 11 \cdot 6 \cdot 9 \\
&\Rightarrow V_{ABCDS} = 99 cm^3 \\
\\
V(x) &= 0,2 \cdot V_{ABCDS} \\
-3,47x + 49,5 &= 0,2 \cdot 99 \,\,\, |-49,5 \\
-3,47x &= -29,7 \,\,\, |:(-3,47) \\
x & = 8,56 \end{align}

Das Volumen ist nur von der Höhe abhängig, weil die Grundfläche gleich bleib. Die größte Höhe entsteht also, wenn P auf S liegt. Dann sind die Höhen der beiden Pyramiden gleich.
Weil die Grundfläche der kleinen Pyramide die Hälfte der größen Pyramide ist, gilt das auch für die Volumina. Fertig 🙂

Mit etwas mehr Rechnung kann die Aufgabe auch gelöst werden. Das größte Volumen entsteht für x = 0. Setze in den Term aus 4.3 ein und bestimme den Anteil:
\begin{align} V(0) &= -4,37 \cdot 0 + 49,5 = 49,5 \\
\frac{V(0)}{V_{ABCDS}} &= 49,5/99 = 0,5 = 50 \% \end{align}