2021 Haupttermin A1: Ebene Geometrie

\begin{align} &\angle CMD \text{ über den Cosinus:}\\
cos{\angle CMD} &= \frac{|\overline{DM}|}{|\overline{CM}|} = \frac{3}{5} \,\,\, |cos{-1}\\
&\Rightarrow \angle CMD = 53,13°\\
\\
\angle BMC &= 180° – 53,13° = 126,87°\\
\\
&\text{Bogenlänge b über die Formel:}\\
b &=\frac{\angle BMC}{360°} \cdot 2 \cdot |\overline{MB}| \cdot \pi \\
&= \frac{126,87°}{360°} \cdot 2 \cdot 5 \cdot \pi \\
&\Rightarrow b = 11,07 cm \end{align}

Der Flächeninhalt setzt sich aus dem Flächeninhalt des Dreiecks AMD und dem Kreissektor zusammen. Du kannst den Flächeninhalt des Dreiecks über die Sinus-Formel bestimmen und für den Kreissektor die Flächenformel verwenden.

\begin{align} &\text{Flächeninhalt des Dreiecks }A_{AMC} \text{ mit der Sinusformel:}\\
A_{AMC} &= 0,5 \cdot |\overline{AM}| \cdot |\overline{CM}| \cdot sin(\angle CMA)\\
&= 0,5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot sin(53,13°) \\
\Rightarrow &A_{AMC} = 10,00 \\
\\
& A_{Sektor} \text{ mit der Flächenformel:}\\
A_{Sektor} &= \frac{\angle BMC}{360} \cdot |\overline{CM}|^2 \cdot \pi \\
&= \frac{126,87°}{360°} \cdot 5^2 \cdot \pi\\
\Rightarrow &A_{Sektor} = 27,68 \\
\\
A &= A_{AMD} + A_{Sektor} \\
&= 10,00 + 27,68 \\
\Rightarrow &A = 37,68 FE \end{align}