2020 Nachtermin B2: Raumgeometrie

\begin{align} & |\overline{CS}| \text{ mit dem Satz des Pythagoras:} \\
|\overline{CS}|^2 &= |\overline{AM}|^2 + |\overline{MS}|^2 \\
&= (0,5 \cdot 13)^2 + 12^2 \\
\Rightarrow &|\overline{AM}| = 13,65 cm \\
\\
& \angle SCA \text{ mit dem Tangens:} \\
tan(\angle SCA) &= \frac{|\overline{MS}|}{|\overline{AM}|} \\
&= \frac{12}{0,5 \cdot 13} \\
\Rightarrow & \angle SCA = 61,56° \end{align}

\begin{align} &V_{klein} \text{ mit } |\overline{P_1 Q_1}| \text{ und } |\overline{H_1 R_1}|: \\
\\
& |\overline{P_1 Q_1}| \text{ mit dem Vierstreckensatz:} \\
\frac{|\overline{P_1 Q_1}|}{|\overline{BD}|} &= \frac{x}{|\overline{AM}|} \\
\frac{|\overline{P_1 Q_1}|}{12} &= \frac{3}{0,5 \cdot 13} \,\,\, | \cdot 12 \\
|\overline{P_1 Q_1}| &= \frac{3}{6,5} \cdot 12 \\
\Rightarrow &|\overline{P_1 Q_1}| = 5,54 cm \\
\\
& |\overline{H_1 R_1}| \text{ mit dem Satz des Pythagoras:} \\
|\overline{CS}|^2 &= (|\overline{AC}| – x)^2 + |\overline{H_1 R_1}|^2 \\
|\overline{H_1 R_1}|^2 &= |\overline{CS}|^2- (|\overline{AC}| – x)^2 \\
&=(13,65)^2 -(13 – 3)^2 \\
\Rightarrow &|\overline{H_1 R_1}| = 9,29 cm \\
\\
&\text{Berechnung des Volumens } V_{klein}: \\
V_{klein} &= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot |\overline{AC}| \cdot |\overline{P_1 Q_1}| \cdot |\overline{H_1 R_1}| \\
&= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot 5,54 \cdot 9,29 \\
\Rightarrow & V_{klein} = 111,51 cm^3 \\
\\
&\text{ Berechnung von }V_{groß}: \\
V_{groß} &= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot |\overline{AC}| \cdot |\overline{BD}| \cdot |\overline{MS}| \\
&= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot 12 \cdot 12 \\
\Rightarrow &V_{groß} = 312 cm^3 \\
\\
&\text{Berechnung des Prozentsatzes: }\\
p &= \frac{V_{klein}}{V_{groß}} \cdot 100 \% \\
&= \frac{111,51}{312} \cdot 100 \% \\
\Rightarrow &p = 35,74 \% \end{align}

\begin{align} & |\overline{CH_2}| \text{ mit dem Satz des Pythagoras:} \\
|\overline{CS}|^2 &= |\overline{CH_2}|^2 + |\overline{H_2 R_2}|^2 \\
|\overline{CH_2}|^2 &= |\overline{CS}|^2 – |\overline{H_2 R_2}|^2 \\
&= 13,65^2 – 6^2 \\ \Rightarrow &|\overline{CH_2}| = 12,26 \\
|\overline{AH_2}| &= 13 – 12,26 = 0,74 cm. \end{align}

Es gilt: x = 0,74.

\begin{align} &|\overline{H_N R_N}| \text{ mit dem Satz des Pythagoras:}
\\ |\overline{H_N R_N}| &= |\overline{CS}|^2 – (|\overline{AC}| – x)^2 \\ &= 13,65^2 – (13 – x) ^2 \\
&= 13,65^2 – (169 – 26x + x^2) \\
&= -x^2 + 26x + 17,32 \\
\Rightarrow |\overline{H_n R_n}| &= \sqrt{-x^2 + 26x + 17,32} cm \end{align}

Angenommen es gibt eine Pyramide, in der es den Winkel RCA = 15° gibt, dann können wir mit \( \overline{CS} \) den Cosinus ansetzen:

\begin{align} cos(\angle RCA) &= \frac{\overline{CH_3}}{\overline{CS}} \, \, | \cdot \overline{CS} \\ \overline{CH_3} &= cos(15°) \cdot 13,65 = 13,18. \\ \overline{CH_3} = 13,18 &> \overline{AC} \end{align}

Damit liegt aber H nicht mehr auf [AM], was nicht sein darf.